Ecuación matricial y compatibilidad de productos

**a) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial $A \cdot X + A^t = I_2$.** Primero, aislamos el término que contiene a $X$ restando $A^t$ en ambos lados de la igualdad: $$A \cdot X = I_2 - A^t$$ Para despejar $X$, debemos multiplicar por la izquierda por la matriz inversa $A^{-1}$, siempre que esta exista: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot (I_2 - A^t)$$ $$(A^{-1} \cdot A) \cdot X = A^{-1} \cdot (I_2 - A^t)$$ $$I_2 \cdot X = A^{-1} \cdot (I_2 - A^t)$$ $$X = A^{-1} \cdot (I_2 - A^t)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo. Si multiplicas por $A^{-1}$ por la izquierda en un lado, debes hacerlo también por la izquierda en el otro.

Para calcular $A^{-1}$ usamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. 1. Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (-1)(2) = -1 + 2 = 1.$$ Como $|A| \neq 0$, existe la matriz inversa $A^{-1}$. 2. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Trasponemos la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 4. Obtenemos $A^{-1}$: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}.$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, un truco rápido para la adjunta es intercambiar los elementos de la diagonal principal y cambiar el signo de los de la diagonal secundaria.

Calculamos primero la traspuesta de $A$: $$A^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos la resta con la matriz identidad $I_2$: $$I_2 - A^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & 0-2 \\ 0-(-1) & 1-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$$ $$\boxed{I_2 - A^t = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}}$$

Sustituimos los resultados obtenidos en la expresión despejada $X = A^{-1} \cdot (I_2 - A^t)$: $$X = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: $$X = \begin{pmatrix} (-1)(0) + (1)(1) & (-1)(-2) + (1)(2) \\ (-2)(0) + (1)(1) & (-2)(-2) + (1)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+1 & 2+2 \\ 0+1 & 4+2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Qué requisitos mínimos debe cumplir una matriz $B$ para que pueda efectuarse el producto $A \cdot B$?** Para que el producto de dos matrices $M \cdot N$ sea posible, el número de columnas de la primera matriz ($M$) debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz ($N$). En este caso: - La matriz $A$ tiene dimensiones $2 \times 2$ (2 filas y **2 columnas**). - Por lo tanto, la matriz $B$ debe tener obligatoriamente **2 filas**. El número de columnas de $B$ puede ser cualquier valor $k$. 💡 **Tip:** Si $A$ es $m \times n$ y $B$ es $p \times q$, el producto $A \cdot B$ solo existe si $n = p$. ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{\text{La matriz } B \text{ debe tener exactamente 2 filas.}}$$

**c) (0.5 puntos) ¿Y para el producto $3 \cdot B \cdot A$?** El escalar $3$ no afecta a la compatibilidad de las dimensiones. Nos centramos en el producto $B \cdot A$. Siguiendo la misma regla: el número de columnas de $B$ debe ser igual al número de filas de $A$. - La matriz $A$ tiene **2 filas** (dimensiones $2 \times 2$). - Por lo tanto, la matriz $B$ debe tener obligatoriamente **2 columnas**. El número de filas de $B$ puede ser cualquier valor $m$. ✅ **Resultado final apartado c):** $$\boxed{\text{La matriz } B \text{ debe tener exactamente 2 columnas.}}$$