Continuidad, representación gráfica y optimización de beneficios

**a) (0.75 puntos) Calcule el valor del parámetro $a$ para que $B$ sea una función continua.** Para que la función $B(t)$ sea continua en todo su dominio $[0, 10]$, debemos estudiar qué ocurre en el punto de salto entre las dos ramas, es decir, en $t = 6$. Una función es continua en un punto si los límites laterales coinciden con el valor de la función en dicho punto: 1. **Límite por la izquierda ($t \to 6^-$):** $$\lim_{t \to 6^-} B(t) = \lim_{t \to 6^-} (at - t^2) = a(6) - 6^2 = 6a - 36$$ 2. **Límite por la derecha ($t \to 6^+$):** $$\lim_{t \to 6^+} B(t) = \lim_{t \to 6^+} (2t) = 2(6) = 12$$ 3. **Valor de la función en el punto:** $$B(6) = a(6) - 6^2 = 6a - 36$$ Para que sea continua, se debe cumplir que $6a - 36 = 12$. Resolviendo la ecuación: $$6a = 12 + 36 \implies 6a = 48 \implies a = \frac{48}{6} = 8$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función a trozos sea continua, el valor al final de una rama debe coincidir con el valor al inicio de la siguiente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 8}$$

**b) (1 punto) Para $a = 8$ represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o decrecerá.** Con $a = 8$, la función es $B(t) = \begin{cases} 8t - t^2 & \text{si } 0 \le t \le 6 \\ 2t & \text{si } 6 \lt t \le 10 \end{cases}$. Para estudiar el crecimiento y decrecimiento (monotonía), derivamos la función rama a rama: $$B'(t) = \begin{cases} 8 - 2t & \text{si } 0 \lt t \lt 6 \\ 2 & \text{si } 6 \lt t \lt 10 \end{cases}$$ Analizamos el signo de $B'(t)$: - En el primer intervalo $(0, 6)$: $8 - 2t = 0 \implies t = 4$. - En el segundo intervalo $(6, 10)$: $B'(t) = 2$, que siempre es positivo. 💡 **Tip:** En los puntos de unión de las ramas ($t=6$), hay que tener cuidado, ya que la función puede no ser derivable aunque sea continua.

Estudiamos el signo de la derivada en los intervalos definidos por los puntos críticos: $$\begin{array}{c|ccccc} t & (0, 4) & 4 & (4, 6) & 6 & (6, 10) \\\hline B'(t) & + & 0 & - & \nexists & + \\\hline B(t) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo relativo} & \nearrow \end{array}$$ **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** - La función es **creciente** en $(0, 4) \cup (6, 10)$. - La función es **decreciente** en $(4, 6)$. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Crece: } (0, 4) \cup (6, 10) \text{ años, Decrece: } (4, 6) \text{ años}}$$

**c) (0.75 puntos) Para $a = 8$ indique en qué momento se obtiene el máximo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor.** En el apartado anterior hemos visto que en el intervalo $[0, 6]$, la función tiene un punto crítico en $t = 4$. Calculamos los valores de la función en el punto crítico y en los extremos del intervalo para confirmar el máximo: - $B(0) = 8(0) - 0^2 = 0$ - $B(4) = 8(4) - 4^2 = 32 - 16 = 16$ - $B(6) = 8(6) - 6^2 = 48 - 36 = 12$ Como $B(4) = 16$ es el valor más alto en este tramo, el máximo se alcanza a los 4 años. 💡 **Tip:** Para encontrar máximos absolutos en un intervalo cerrado, compara siempre los valores de los puntos donde la derivada es cero con los valores en los extremos del intervalo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El máximo beneficio se obtiene a los 4 años y asciende a 16 millones de euros}}$$