Probabilidad de compra en supermercados

Definimos los sucesos del problema a partir de los datos ofrecidos: - $A$: El habitante compra en el supermercado A. $P(A) = 0.58$ - $B$: El habitante compra en el supermercado B. $P(B) = 0.35$ - $A \cap B$: El habitante compra en ambos supermercados. $P(A \cap B) = 0.12$ Para visualizar mejor las probabilidades, podemos construir una **tabla de contingencia**. Completamos los valores sabiendo que el total debe ser 1: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \overline{B} & \text{Total} \\ \hline A & 0.12 & 0.46 & 0.58 \\ \overline{A} & 0.23 & 0.19 & 0.42 \\ \hline \text{Total} & 0.35 & 0.65 & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Los valores de las celdas interiores se obtienen restando. Por ejemplo: $P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.58 - 0.12 = 0.46$.

**a) (0.75 puntos) Compre en algún supermercado.** Que un habitante compre en "algún" supermercado significa que compra en A, en B o en ambos. Matemáticamente, esto se corresponde con la unión de los sucesos $A$ y $B$ ($A \cup B$). Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(A \cup B) = 0.58 + 0.35 - 0.12 = 0.81$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = 0.81}$$

**b) (0.5 puntos) No compre en ningún supermercado.** No comprar en ninguno es el suceso contrario a comprar en alguno. Es decir, buscamos el complementario de la unión: $$P(\text{Ninguno}) = P(\overline{A \cup B})$$ Usando la propiedad del suceso contrario: $$P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$$ $$P(\overline{A \cup B}) = 1 - 0.81 = 0.19$$ 💡 **Tip:** También se puede ver directamente en nuestra tabla de contingencia en la intersección de $\overline{A}$ y $\overline{B}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0.19}$$

**c) (0.5 puntos) Compre solamente en un supermercado.** Este suceso ocurre cuando el habitante compra en A pero no en B, o compra en B pero no en A. Esto se puede expresar de dos formas: 1. $P((A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B))$ 2. $P(A \cup B) - P(A \cap B)$ Usando la segunda opción, que es más directa: $$P(\text{Solo uno}) = 0.81 - 0.12 = 0.69$$ Si usamos los datos de la tabla de contingencia: $$P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = 0.46 + 0.23 = 0.69$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = 0.69}$$

**d) (0.75 puntos) Compre en el supermercado A, sabiendo que no compra en B.** Estamos ante una probabilidad condicionada. Queremos hallar la probabilidad de $A$ dado que ha ocurrido $\overline{B}$ (no compra en B). La fórmula es: $$P(A | \overline{B}) = \frac{P(A \cap \overline{B})}{P(\overline{B})}$$ Calculamos los componentes: - $P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.58 - 0.12 = 0.46$ - $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.35 = 0.65$ Sustituimos en la fórmula: $$P(A | \overline{B}) = \frac{0.46}{0.65} \approx 0.7077$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. En este caso, la condición es "no comprar en B", por lo que el denominador es $P(\overline{B})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A | \overline{B}) \approx 0.7077}$$