Contraste de hipótesis para la proporción

**a) (1.5 puntos) Plantee un contraste de hipótesis ($H_0 : p \le 0.05$) para determinar si ha aumentado la proporción de artículos defectuosos. Obtenga la región crítica del contraste para un nivel de significación del 5%.** En primer lugar, definimos las hipótesis del contraste. Queremos comprobar si la proporción de artículos defectuosos ($p$) ha aumentado respecto al valor inicial del $5\%$. - **Hipótesis nula ($H_0$):** La proporción de artículos defectuosos es como máximo del $5\%$. Es decir, $H_0 : p \le 0.05$. - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** La proporción de artículos defectuosos ha aumentado. Es decir, $H_1 : p \gt 0.05$. Estamos ante un **contraste unilateral a la derecha**, ya que solo nos preocupa si la proporción ha crecido. 💡 **Tip:** Recuerda que la hipótesis nula siempre contiene el signo de igualdad ($=, \le, \ge$) y es la que intentamos refutar con la evidencia de la muestra.

Para muestras grandes ($n \ge 30$), la proporción muestral $\hat{p}$ sigue una distribución normal. Los parámetros bajo la hipótesis nula ($p_0 = 0.05$) son: - Tamaño de la muestra: $n = 300$ - Proporción teórica: $p_0 = 0.05$ - Complemento: $q_0 = 1 - p_0 = 0.95$ La desviación típica de la proporción muestral (error típico) es: $$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p_0 \cdot q_0}{n}} = \sqrt{\frac{0.05 \cdot 0.95}{300}} = \sqrt{\frac{0.0475}{300}} \approx 0.01258$$ Por tanto, la distribución de la proporción muestral es: $$\hat{p} \sim N(0.05, \, 0.01258)$$ 💡 **Tip:** Para aplicar la normal a una proporción, debemos comprobar que $n \cdot p_0 \ge 5$ y $n \cdot q_0 \ge 5$. En este caso $300 \cdot 0.05 = 15$ y $300 \cdot 0.95 = 285$, por lo que es correcto usar la aproximación normal.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.05$, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ tal que $P(Z \gt z_{\alpha}) = 0.05$. Esto equivale a buscar el valor cuya probabilidad acumulada sea $1 - \alpha = 0.95$: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 0.95 \implies z_{\alpha} = 1.645$$ Ahora calculamos el valor crítico para la proporción ($p_c$): $$p_c = p_0 + z_{\alpha} \cdot \sqrt{\frac{p_0 \cdot q_0}{n}}$$ $$p_c = 0.05 + 1.645 \cdot 0.01258 \approx 0.05 + 0.0207 = 0.0707$$ La **región crítica (RC)** es el conjunto de valores de la proporción muestral que nos llevan a rechazar $H_0$. Al ser un contraste unilateral a la derecha, la región es: $$RC = (0.0707, \, 1]$$ ✅ **Resultado (Región Crítica):** $$\boxed{RC = (0.0707, \, 1]}$$

**b) (1 punto) ¿Qué conclusión se obtiene con los datos muestrales observados?** Calculamos la proporción de artículos defectuosos obtenida en la muestra observada: - Artículos totales: $n = 300$ - Artículos defectuosos: $x = 35$ La proporción muestral observada es: $$\hat{p}_{obs} = \frac{35}{300} \approx 0.1167$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral siempre es el número de éxitos (defectuosos en este caso) dividido por el tamaño total de la muestra.

Comparamos la proporción observada $\hat{p}_{obs} = 0.1167$ con la región crítica calculada en el apartado anterior: Como $0.1167 \in (0.0707, \, 1]$, la proporción muestral observada **cae dentro de la región crítica**. Esto significa que la diferencia entre la proporción observada ($11.67\%$) y la supuesta ($5\%$) es demasiado grande para ser debida al azar con un $95\%$ de confianza. Por lo tanto: 1. **Rechazamos la hipótesis nula ($H_0$)**. 2. **Aceptamos la hipótesis alternativa ($H_1$)**. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Hay evidencia estadística suficiente para afirmar que la proporción de artículos defectuosos ha aumentado.}}$$