Optimización de beneficios en producción textil

**(2.5 puntos) Un empresario fabrica camisas y pantalones para jóvenes. Para hacer una camisa se necesitan 2 metros de tela y 5 botones, y para hacer un pantalón hacen falta 3 metros de tela, 2 botones y 1 cremallera. La empresa dispone de 1050 metros de tela, 1250 botones y 300 cremalleras. El beneficio que se obtiene por la venta de una camisa es de 30 euros y el de un pantalón es de 50 euros. Suponiendo que se vende todo lo que se fabrica, calcule el número de camisas y de pantalones que debe confeccionar para obtener el máximo beneficio, y determine este beneficio máximo.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de camisas a fabricar. - $y$: número de pantalones a fabricar. El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, cada camisa aporta $30$ € y cada pantalón $50$ €, por lo que la **función objetivo** es: $$f(x, y) = 30x + 50y$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre las variables por lo que te pregunta el enunciado (en este caso, cantidades de productos) para construir la función que deseas optimizar.

A partir de los recursos disponibles (tela, botones y cremalleras), planteamos el sistema de inecuaciones: 1. **Tela:** Se usan $2$ m por camisa y $3$ m por pantalón, con un máximo de $1050$ m: $$2x + 3y \le 1050$$ 2. **Botones:** Se usan $5$ por camisa y $2$ por pantalón, con un máximo de $1250$ botones: $$5x + 2y \le 1250$$ 3. **Cremalleras:** Solo los pantalones llevan cremallera ($1$ por cada uno), con un máximo de $300$: $$y \le 300$$ 4. **No negatividad:** No se pueden fabricar cantidades negativas: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de restricciones es: $$\begin{cases} 2x + 3y \le 1050 \\ 5x + 2y \le 1250 \\ y \le 300 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Es útil organizar los datos en una tabla si el enunciado es complejo para no olvidar ninguna restricción.

Representamos las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región factible: - $r_1: 2x + 3y = 1050$. Puntos: $(0, 350)$ y $(525, 0)$. - $r_2: 5x + 2y = 1250$. Puntos: $(0, 625)$ y $(250, 0)$. - $r_3: y = 300$. Recta horizontal. La región factible es el polígono que cumple todas las inecuaciones a la vez (zona sombreada en el gráfico).

Los vértices de la región factible son los puntos de intersección de las rectas que la limitan: - **A:** Intersección de $x=0$ e $y=0 \implies A(0, 0)$. - **B:** Intersección de $y=300$ y $x=0 \implies B(0, 300)$. - **C:** Intersección de $2x + 3y = 1050$ y $y = 300$: $$2x + 3(300) = 1050 \implies 2x = 150 \implies x = 75 \implies C(75, 300)$$ - **D:** Intersección de $2x + 3y = 1050$ y $5x + 2y = 1250$. Resolvemos el sistema: Multiplicamos la primera por $2$ y la segunda por $-3$: $$\begin{cases} 4x + 6y = 2100 \\ -15x - 6y = -3750 \end{cases} \implies -11x = -1650 \implies x = 150$$ Sustituyendo $x=150$ en la primera: $2(150) + 3y = 1050 \implies 3y = 750 \implies y = 250 \implies D(150, 250)$ - **E:** Intersección de $5x + 2y = 1250$ e $y = 0$: $$5x = 1250 \implies x = 250 \implies E(250, 0)$$ 💡 **Tip:** Los vértices son fundamentales porque, según el teorema fundamental de la programación lineal, el óptimo siempre se encuentra en uno de ellos (o en un segmento entre ellos).

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 30x + 50y$ en cada vértice: - $f(0, 0) = 30(0) + 50(0) = 0$ € - $f(0, 300) = 30(0) + 50(300) = 15000$ € - $f(75, 300) = 30(75) + 50(300) = 2250 + 15000 = 17250$ € - $f(150, 250) = 30(150) + 50(250) = 4500 + 12500 = 17000$ € - $f(250, 0) = 30(250) + 50(0) = 7500$ € El valor máximo es $17250$ € y se alcanza en el punto $(75, 300)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debe fabricar 75 camisas y 300 pantalones para un beneficio máximo de 17250 €}}$$