Cálculo de parámetros para que una función sea derivable

Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser **continua** en dicho punto. Las dos ramas de la función son polinomios, por lo que son continuas y derivables en sus respectivos intervalos abiertos. El único punto de conflicto es el salto entre intervalos en $x=1$. Para que $f(x)$ sea continua en $x=1$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. **Límite por la izquierda ($x \to 1^-$):** $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (-x^2+ax-7) = -(1)^2 + a(1) - 7 = a - 8$$ 2. **Límite por la derecha ($x \to 1^+$) y valor $f(1)$:** $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 4(1) - b = 4 - b$$ Para que haya continuidad, igualamos ambos resultados: $$a - 8 = 4 - b \implies a + b = 12$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la condición de continuidad es $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$. $$\boxed{a + b = 12}$$

Una vez impuesta la continuidad, estudiamos la derivabilidad. Calculamos la derivada de la función en las ramas donde $x \neq 1$: $$f'(x)=\begin{cases} -2x+a & \text{si } x \lt 1 \\ 4 & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$ Para que la función sea derivable en $x=1$, las derivadas laterales deben ser iguales: 1. **Derivada lateral por la izquierda:** $$f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} (-2x+a) = -2(1) + a = a - 2$$ 2. **Derivada lateral por la derecha:** $$f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} (4) = 4$$ Igualamos ambas derivadas para asegurar que no haya un punto anguloso: $$a - 2 = 4 \implies a = 6$$ 💡 **Tip:** La derivabilidad implica que la gráfica de la función no tiene picos o 'esquinas' en el punto de unión. $$\boxed{a = 6}$$

Ahora que conocemos el valor de $a$, sustituimos en la ecuación de continuidad que obtuvimos en el primer paso ($a + b = 12$): $$6 + b = 12$$ $$b = 12 - 6$$ $$b = 6$$ Por tanto, para que la función sea derivable en todo $\mathbb{R}$, los parámetros deben valer: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 6, \quad b = 6}$$