Probabilidad de pesca: Teorema de la Probabilidad Total y Bayes

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales: - $A$: Elegir la carnada **adecuada**. - $I$: Elegir una carnada **inadecuada**. - $S$: Pescar un **salmón**. - $\bar{S}$: No pescar un salmón. Datos del enunciado: - Hay 3 tipos de carnada, solo 1 es adecuada: $P(A) = 1/3$ e $P(I) = 2/3$. - Si la carnada es adecuada, pesca salmón con probabilidad $1/3$: $P(S|A) = 1/3$. - Si la carnada es inadecuada, pesca salmón con probabilidad $1/5$: $P(S|I) = 1/5$. Representamos la situación en un árbol de probabilidad:

**a) (1.25 puntos) Si elige aleatoriamente la carnada, ¿cuál es la probabilidad de que pesque un salmón?** Para calcular la probabilidad total de pescar un salmón, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. El suceso $S$ (pescar salmón) puede ocurrir a través de dos caminos: usando la carnada adecuada o usando una inadecuada. $$P(S) = P(A) \cdot P(S|A) + P(I) \cdot P(S|I)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(S) = \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} \right)$$ Realizamos las operaciones con fracciones: $$P(S) = \frac{1}{9} + \frac{2}{15}$$ Buscamos el mínimo común múltiplo de $9$ y $15$, que es $45$: $$P(S) = \frac{5}{45} + \frac{6}{45} = \frac{11}{45}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total suma todas las "ramas" del árbol que terminan en el suceso deseado (en este caso, Salmón). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S) = \frac{11}{45} \approx 0.2444}$$

**b) (1.25 puntos) Si ha pescado un salmón, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya hecho con la carnada adecuada?** Este apartado nos pide una probabilidad a posteriori: conocemos el resultado final (ha pescado un salmón) y queremos saber la probabilidad de la causa (que la carnada fuera la adecuada). Usamos el **Teorema de Bayes**. La fórmula es: $$P(A|S) = \frac{P(A \cap S)}{P(S)} = \frac{P(A) \cdot P(S|A)}{P(S)}$$ Ya tenemos todos los datos necesarios: - $P(A) \cdot P(S|A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$ - $P(S) = \frac{11}{45}$ (calculado en el apartado anterior) Sustituimos: $$P(A|S) = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{11}{45}}$$ Para dividir fracciones, multiplicamos en cruz o por el inverso: $$P(A|S) = \frac{1}{9} \cdot \frac{45}{11} = \frac{45}{99}$$ Simplificamos dividiendo entre 9: $$P(A|S) = \frac{5}{11}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una "rama" específica entre la probabilidad total calculada anteriormente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|S) = \frac{5}{11} \approx 0.4545}$$