Contraste de hipótesis para la proporción

**a) (1.5 puntos) Plantee un contraste de hipótesis, con $H_0 : p \le 0.23$ , para decidir si, con los datos dados, se puede afirmar que la medida del director ha aumentado la contratación de estos planes de pensiones. Halle la región de aceptación de este contraste de hipótesis para un nivel de significación del 5%.** En primer lugar, definimos la proporción poblacional $p$ como la probabilidad de que un nuevo cliente contrate un plan de pensiones. El enunciado nos pide contrastar si la medida ha aumentado la contratación. Por tanto, planteamos un **contraste unilateral a la derecha**: - Hipótesis nula ($H_0$): $p \le 0.23$ (La medida no ha surtido efecto significativo). - Hipótesis alternativa ($H_1$): $p \gt 0.23$ (La proporción ha aumentado gracias a la medida). 💡 **Tip:** La hipótesis alternativa $H_1$ es siempre lo que queremos demostrar o sospechamos que ha ocurrido tras el cambio.

Extraemos la información proporcionada para realizar los cálculos: - Tamaño de la muestra: $n = 470$ - Proporción bajo la hipótesis nula: $p_0 = 0.23$ - Nivel de significación: $\alpha = 0.05$ - Número de éxitos observados: $X = 110$ Calculamos la proporción muestral observada ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{110}{470} \approx 0.234$$ 💡 **Tip:** En los problemas de proporciones, es fundamental comprobar que $n$ sea suficientemente grande para aproximar la distribución de $\hat{p}$ a una Normal.

Para muestras grandes ($n \gt 30$), la proporción muestral $\hat{p}$ sigue una distribución Normal: $$\hat{p} \sim N\left(p_0, \sqrt{\frac{p_0 \cdot (1 - p_0)}{n}}\right)$$ Calculamos la desviación típica de la proporción (error estándar): $$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0.23 \cdot (1 - 0.23)}{470}} = \sqrt{\frac{0.23 \cdot 0.77}{470}} = \sqrt{\frac{0.1771}{470}} \approx \sqrt{0.0003768} \approx 0.0194$$ Por tanto: $$\hat{p} \sim N(0.23, \, 0.0194)$$ $$\boxed{\sigma_{\hat{p}} \approx 0.0194}$$

Al ser un contraste unilateral a la derecha con un nivel de significación $\alpha = 0.05$, el valor crítico $z_{\alpha}$ es aquel que deja un área de $0.05$ a su derecha (y $0.95$ a su izquierda) en la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$. Buscamos en la tabla de la Normal el valor de $z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - \alpha = 1 - 0.05 = 0.95$$ Consultando las tablas, para una probabilidad de $0.95$, obtenemos: $$z_{\alpha} = 1.645$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto $0.95$ no aparece, se hace la media entre los valores para $0.9495$ ($1.64$) y $0.9505$ ($1.65$).

La Región de Aceptación ($R.A.$) para un contraste unilateral derecho en la proporción se define como: $$R.A. = (-\infty, \, p_0 + z_{\alpha} \cdot \sigma_{\hat{p}}]$$ Sustituimos los valores calculados: $$p_{crítico} = 0.23 + 1.645 \cdot 0.0194$$ $$p_{crítico} = 0.23 + 0.0319 = 0.2619$$ Por tanto, la región de aceptación es: $$\boxed{R.A. = (-\infty, \, 0.2619]}$$ (Aunque físicamente una proporción no puede ser negativa, estadísticamente se define el intervalo desde $-\infty$ hasta el punto crítico).

**b) (1 punto) Según el resultado del apartado anterior, ¿qué conclusión podemos obtener sobre la medida tomada por el director de esta sucursal?** Para obtener la conclusión, debemos comprobar si la proporción obtenida en la muestra, $\hat{p} = 0.234$, cae dentro de la Región de Aceptación: 1. **Comparación:** $$\hat{p} = 0.234$$ $$0.234 \in (-\infty, \, 0.2619]$$ 2. **Decisión:** Como la proporción muestral pertenece a la región de aceptación, **no tenemos evidencias suficientes para rechazar la hipótesis nula ($H_0$)**. 3. **Conclusión en contexto:** No se puede afirmar, con un nivel de significación del 5%, que la medida del director (el regalo) haya aumentado significativamente la contratación de planes de pensiones. 💡 **Tip:** Aunque $0.234$ es mayor que $0.23$, la diferencia no es lo suficientemente grande como para descartar que se deba simplemente al azar del muestreo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede afirmar que la medida haya aumentado la contratación.}}$$