Operaciones con matrices. Problema de producción y ventas

**a) (0.75 puntos) Para cada mes construya la matriz de dimensión 3x2 correspondiente a las compras de ese mes.** Primero, organizamos los datos del mes de enero en una matriz $M_E$. En este tipo de matrices, las filas suelen representar a los clientes (Cliente 1, 2 y 3) y las columnas representan los productos (A y B). - Cliente 1: 9 de A, 5 de B. - Cliente 2: 3 de A, 7 de B. - Cliente 3: 4 de A, 6 de B. La matriz de enero es: $$M_E = \begin{pmatrix} 9 & 5 \\ 3 & 7 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En una matriz de dimensión $3 \times 2$, el primer número indica el número de filas (clientes) y el segundo el número de columnas (productos).

Para el mes de febrero ($M_F$), aplicamos los cambios indicados respecto a enero: - Clientes 1 y 2: Duplican sus compras ($2 \cdot \text{enero}$). - Cliente 3: Compra una unidad más de cada producto ($+1$). $$M_F = \begin{pmatrix} 9 \cdot 2 & 5 \cdot 2 \\ 3 \cdot 2 & 7 \cdot 2 \\ 4 + 1 & 6 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 10 \\ 6 & 14 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$$ Para el mes de marzo ($M_M$): - Cliente 1: No compra nada (0 unidades). - Clientes 2 y 3: Compran lo mismo que en febrero. $$M_M = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 6 & 14 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{M_E = \begin{pmatrix} 9 & 5 \\ 3 & 7 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad M_F = \begin{pmatrix} 18 & 10 \\ 6 & 14 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}, \quad M_M = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 6 & 14 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}}$$

**b) (0.5 puntos) Calcule la matriz de compras del trimestre.** Para obtener la matriz total del trimestre ($T$), debemos sumar las matrices correspondientes a los tres meses. La suma de matrices se realiza elemento a elemento. $$T = M_E + M_F + M_M$$ $$T = \begin{pmatrix} 9 & 5 \\ 3 & 7 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 18 & 10 \\ 6 & 14 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 6 & 14 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$$ $$T = \begin{pmatrix} 9+18+0 & 5+10+0 \\ 3+6+6 & 7+14+14 \\ 4+5+5 & 6+7+7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 & 15 \\ 15 & 35 \\ 14 & 20 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Solo podemos sumar matrices si tienen exactamente las mismas dimensiones. En este caso, todas son $3 \times 2$. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{T = \begin{pmatrix} 27 & 15 \\ 15 & 35 \\ 14 & 20 \end{pmatrix}}$$

**c) (1.25 puntos) Si los precios de los productos A y B son, respectivamente, 80 y 100 euros, calcule lo que factura la fábrica en el primer trimestre, por cada cliente y en total.** Podemos resolver esto mediante el producto de la matriz del trimestre $T$ por una matriz de precios $P$. Definimos $P$ como una matriz columna $2 \times 1$: $$P = \begin{pmatrix} 80 \\ 100 \end{pmatrix}$$ La facturación por cliente se obtiene calculando $F = T \cdot P$: $$F = \begin{pmatrix} 27 & 15 \\ 15 & 35 \\ 14 & 20 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 80 \\ 100 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de cada fila por la columna de precios: - **Cliente 1:** $27 \cdot 80 + 15 \cdot 100 = 2160 + 1500 = 3660$ € - **Cliente 2:** $15 \cdot 80 + 35 \cdot 100 = 1200 + 3500 = 4700$ € - **Cliente 3:** $14 \cdot 80 + 20 \cdot 100 = 1120 + 2000 = 3120$ € 💡 **Tip:** Para multiplicar una matriz $3 \times 2$ por una $2 \times 1$, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda. El resultado es una matriz $3 \times 1$. ✅ **Facturación por cliente:** $$\boxed{\text{C1: } 3660 \text{ €, C2: } 4700 \text{ €, C3: } 3120 \text{ €}}$$

Para calcular la facturación total de la fábrica, simplemente sumamos los resultados obtenidos para cada cliente: $$\text{Facturación Total} = 3660 + 4700 + 3120$$ $$\text{Facturación Total} = 11480 \text{ euros}$$ ✅ **Resultado final (Apartado c):** $$\boxed{\text{Facturación Total} = 11480 \text{ €}}$$