Estudio de la superficie de una mancha marina

**a) (0.5 puntos) ¿Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla?** El momento inicial corresponde al tiempo $t = 0$. Para hallar la superficie en ese instante, simplemente debemos sustituir $t = 0$ en la función proporcionada: $$f(0) = \frac{11(0) + 20}{0 + 2} = \frac{20}{2} = 10$$ Como el enunciado indica que la superficie se mide en $km^2$, la superficie inicial es de $10\text{ km}^2$. 💡 **Tip:** En problemas de funciones temporales, la palabra "inicialmente" siempre se refiere al instante $t = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{10\text{ km}^2}$$

**b) (1.25 puntos) Estudie si la mancha crece o decrece con el tiempo.** Para saber si la función crece o decrece, debemos estudiar el signo de su primera derivada, $f'(t)$. La función es un cociente de la forma $f(t) = \frac{u}{v}$, por lo que aplicamos la regla de la derivada de un cociente: $$f'(t) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$$ Donde: - $u = 11t + 20 \implies u' = 11$ - $v = t + 2 \implies v' = 1$ Sustituimos: $$f'(t) = \frac{11(t + 2) - (11t + 20) \cdot 1}{(t + 2)^2}$$ $$f'(t) = \frac{11t + 22 - 11t - 20}{(t + 2)^2}$$ $$f'(t) = \frac{2}{(t + 2)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$. Ten mucho cuidado con el signo menos al distribuir el numerador.

Para determinar la monotonía, observamos el signo de $f'(t) = \frac{2}{(t + 2)^2}$ para $t \ge 0$: 1. El numerador es $2$, que siempre es **positivo**. 2. El denominador es $(t + 2)^2$, que al estar elevado al cuadrado siempre es **positivo** para cualquier valor de $t$ en el dominio (en nuestro caso $t \ge 0$). Como el cociente de dos números positivos es positivo, tenemos que $f'(t) \gt 0$ para todo $t \ge 0$. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|c} t & (0, +\infty) \\ \hline f'(t) & + \\ \hline f(t) & \text{Creciente} \nearrow \end{array}$$ Al ser la derivada siempre positiva, la función es estrictamente creciente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La mancha crece con el tiempo para todo } t \ge 0}$$

**c) (0.75 puntos) ¿Tiene algún límite la extensión de la superficie de la mancha?** Para responder a esta pregunta, debemos calcular el límite de la función cuando el tiempo tiende a infinito ($t \to +\infty$): $$\lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{11t + 20}{t + 2}$$ Al ser un límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado (grado 1), el resultado es el cociente de los coeficientes de mayor grado: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{11t + 20}{t + 2} = \frac{11}{1} = 11$$ Esto significa que, a medida que pasa el tiempo, la superficie de la mancha se estabiliza y no superará los $11\text{ km}^2$. Geométricamente, la función tiene una asíntota horizontal en $y = 11$. 💡 **Tip:** Si los grados del numerador y denominador son iguales, el límite es simplemente el cociente de los coeficientes principales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, el límite es } 11\text{ km}^2}$$