Probabilidad de sucesos: incompatibles, independientes y condicionados

**a) (0.5 puntos) Si $A$ y $B$ fuesen incompatibles.** Dos sucesos son **incompatibles** (o mutuamente excluyentes) si no pueden ocurrir simultáneamente. Esto significa que su intersección es el conjunto vacío y, por tanto, su probabilidad es cero. Por definición de sucesos incompatibles: $$P(A \cap B) = 0$$ Para calcular la probabilidad de la unión, utilizamos la fórmula general: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(A \cup B) = 0.60 + 0.25 - 0 = 0.85$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de que ocurra uno u otro es simplemente la suma de sus probabilidades individuales. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{P(A \cap B) = 0, \quad P(A \cup B) = 0.85}$$

**b) (1 punto) Si $A$ y $B$ fueran independientes.** Dos sucesos son **independientes** si la probabilidad de que ocurra uno no se ve afectada por la ocurrencia del otro. Matemáticamente, esto implica que la probabilidad de la intersección es el producto de sus probabilidades individuales. Calculamos primero la intersección: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ $$P(A \cap B) = 0.60 \cdot 0.25 = 0.15$$ Ahora, calculamos la unión usando la fórmula general: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$P(A \cup B) = 0.60 + 0.25 - 0.15 = 0.70$$ 💡 **Tip:** No confundas sucesos incompatibles con independientes. Si son independientes y tienen probabilidad distinta de cero, obligatoriamente son compatibles (su intersección no es cero). ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{P(A \cap B) = 0.15, \quad P(A \cup B) = 0.70}$$

**c) (1 punto) Si $P(A/B) = 0.40$.** En este supuesto, se nos da la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ha ocurrido $B$. Usaremos la definición de probabilidad condicionada para hallar la intersección: $$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Despejamos $P(A \cap B)$: $$P(A \cap B) = P(A/B) \cdot P(B)$$ $$P(A \cap B) = 0.40 \cdot 0.25 = 0.10$$ Finalmente, calculamos la unión con la fórmula de la suma: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$P(A \cup B) = 0.60 + 0.25 - 0.10 = 0.75$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada $P(A/B)$ siempre se refiere a la probabilidad de la intersección dividida por la probabilidad del suceso que "ya ha ocurrido" (el que está en el denominador de la expresión). ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{P(A \cap B) = 0.10, \quad P(A \cup B) = 0.75}$$