Estimación del peso medio y tamaño muestral

**a) (2 puntos) Halle el tamaño mínimo de la muestra que se ha de elegir para, con un nivel de confianza del 95%, estimar el peso medio con un error menor de 450 g.** Primero identificamos la variable aleatoria $X$, que representa el peso de las calabazas en gramos. El enunciado nos dice que sigue una distribución Normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(\mu, 1200)$$ Donde: - La media poblacional $\mu$ es desconocida. - La desviación típica poblacional es $\sigma = 1200 \text{ g}$. - El error máximo permitido es $E \lt 450 \text{ g}$. - El nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.95$ (lo que implica un $95\%$). 💡 **Tip:** En problemas de inferencia para la media, si la población es Normal o el tamaño de la muestra es suficientemente grande ($n \ge 30$), el error viene dado por la fórmula $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$. 2. Dividimos el nivel de significación entre dos: $\alpha/2 = 0.025$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la Normal estándar $N(0,1)$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.025 = 0.975$$ Mirando en la tabla de la distribución Normal positiva, encontramos que para una probabilidad de $0.975$, el valor es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** El valor $z_{\alpha/2}$ para el $95\%$ es uno de los más comunes en los exámenes ($1.96$), al igual que el del $99\%$ ($2.575$) y el del $90\%$ ($1.645$).

Utilizamos la fórmula del error máximo admisible y despejamos el tamaño de la muestra $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$\sqrt{n} = \frac{1.96 \cdot 1200}{450}$$ $$\sqrt{n} = \frac{2352}{450} \approx 5.2267$$ Elevamos al cuadrado ambos lados para despejar $n$: $$n = (5.2267)^2 \approx 27.318$$ Como el enunciado pide que el error sea **menor** de $450$ g, y el tamaño de la muestra debe ser un número entero, debemos redondear siempre al alza (aunque el decimal sea pequeño) para garantizar que el error no supere el límite. $$\boxed{n = 28}$$ ✅ **Resultado:** El tamaño mínimo de la muestra debe ser de **28 calabazas**.

**b) (0.5 puntos) Para el mismo nivel de confianza, indique, razonando la respuesta, si el error aumenta o disminuye al aumentar el tamaño de la muestra.** Analizamos la fórmula del error de estimación: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ En esta expresión, para un nivel de confianza fijo (lo que mantiene constante $z_{\alpha/2}$) y una desviación típica $\sigma$ constante, observamos que $n$ se encuentra en el **denominador**. Matemáticamente, esto significa que el error $E$ es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño de la muestra $\sqrt{n}$. Por lo tanto: - Si $n$ aumenta, el valor de la fracción $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ disminuye. - Al disminuir la fracción, el producto final $E$ también disminuye. 💡 **Tip:** Es lógico pensar que cuanta más información tengamos de una población (muestra más grande), más precisa será nuestra estimación y, por tanto, menor será el error cometido. ✅ **Resultado:** Al aumentar el tamaño de la muestra, **el error disminuye**.