Resolución de una ecuación matricial

**(2.5 puntos) Halle la matriz $X$ que verifique la ecuación matricial $A^2 \cdot X = A - B \cdot C$ , siendo $A, B$ y $C$ las matrices dadas.** Primero, aislamos la matriz $X$ en la ecuación. Para ello, debemos multiplicar por la izquierda por la inversa de $A^2$, siempre que dicha inversa exista: $$A^2 \cdot X = A - B \cdot C \implies (A^2)^{-1} \cdot (A^2 \cdot X) = (A^2)^{-1} \cdot (A - B \cdot C)$$ Como $(A^2)^{-1} \cdot A^2 = I$ (matriz identidad): $$X = (A^2)^{-1} \cdot (A - B \cdot C)$$ Para resolver el ejercicio, seguiremos este orden: 1. Calcular $A^2$. 2. Calcular el producto $B \cdot C$. 3. Calcular la resta $D = A - B \cdot C$. 4. Hallar la inversa $(A^2)^{-1}$. 5. Multiplicar $(A^2)^{-1} \cdot D$. 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo ($M \cdot N \neq N \cdot M$). Si multiplicas por la izquierda en un lado de la igualdad, debes hacerlo también por la izquierda en el otro.

Calculamos $A^2$ multiplicando la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}}$$

La matriz $B$ es de dimensión $2 \times 3$ y la matriz $C$ es $3 \times 2$, por lo que el resultado será una matriz $2 \times 2$: $$B \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos filas de $B$ por columnas de $C$: $$B \cdot C = \begin{pmatrix} 1(-1) + 0(-1) + 1(2) & 1(0) + 0(1) + 1(0) \\ -1(-1) + 1(-1) + 4(2) & -1(0) + 1(1) + 4(0) \end{pmatrix}$$ $$B \cdot C = \begin{pmatrix} -1 + 0 + 2 & 0 \\ 1 - 1 + 8 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{B \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}}$$

Llamamos $D$ a la matriz resultante de $A - B \cdot C$: $$D = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$$ $$D = \begin{pmatrix} 1 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 8 & 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -8 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{D = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -8 & 1 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $(A^2)^{-1}$ de $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$, usamos la fórmula: $$M^{-1} = \frac{1}{|M|} \cdot \text{Adj}(M)^t$$ 1. Determinante de $A^2$: $$|A^2| = (1 \cdot 4) - (3 \cdot 0) = 4$$ Como $|A^2| \neq 0$, la matriz tiene inversa. 2. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(A^2)$: $$\text{Adj}(A^2) = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Traspuesta de la adjunta $\text{Adj}(A^2)^t$: $$\text{Adj}(A^2)^t = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 4. Inversa: $$(A^2)^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3/4 \\ 0 & 1/4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$ del tipo $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, la inversa es $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Finalmente, calculamos $X = (A^2)^{-1} \cdot D$: $$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -8 & 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 4(0) + (-3)(-8) & 4(1) + (-3)(1) \\ 0(0) + 1(-8) & 0(1) + 1(1) \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 24 & 4 - 3 \\ -8 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 24 & 1 \\ -8 & 1 \end{pmatrix}$$ Operando el escalar: $$X = \begin{pmatrix} 6 & 1/4 \\ -2 & 1/4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 6 & 0,25 \\ -2 & 0,25 \end{pmatrix}}$$