Estudio completo de una función racional

**a) (0.8 puntos) Determine la monotonía y curvatura de la función.** Antes de empezar, calculamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los reales excepto los valores que anulan el denominador: $$x + 2 = 0 \implies x = -2$$ Por tanto, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$. Para estudiar la **monotonía**, calculamos la primera derivada $f'(x)$: $$f(x) = 1 - 2(x + 2)^{-1}$$ $$f'(x) = 0 - 2 \cdot (-1) \cdot (x + 2)^{-2} \cdot 1 = \frac{2}{(x + 2)^2}$$ 💡 **Tip:** Para derivar $\frac{k}{u}$, es más rápido usar la regla de la cadena si lo expresas como $k \cdot u^{-1}$. Analizamos el signo de $f'(x)$: El numerador es $2 > 0$ y el denominador $(x + 2)^2 > 0$ para cualquier $x$ de su dominio. Por tanto, $f'(x) > 0$ en todo su dominio. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & \nexists & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \nexists & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{La función es creciente en } (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)}$$ No existen máximos ni mínimos relativos.

Para estudiar la **curvatura**, calculamos la segunda derivada $f''(x)$ partiendo de $f'(x) = 2(x + 2)^{-2}$: $$f''(x) = 2 \cdot (-2) \cdot (x + 2)^{-3} \cdot 1 = -\frac{4}{(x + 2)^3}$$ Igualamos a cero para buscar posibles puntos de inflexión: $$-\frac{4}{(x + 2)^3} = 0 \implies -4 \neq 0$$ No hay puntos de inflexión, pero la curvatura puede cambiar en el punto de discontinuidad $x = -2$. **Tabla de curvatura:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, +\infty) \\ \hline -4 & - & - & - \\ (x+2)^3 & - & 0 & + \\ \hline f''(x) & + & \nexists & - \end{array}$$ - En $(-\infty, -2)$, $f''(x) > 0 \implies$ la función es **convexa** ($\uplus$). - En $(-2, +\infty)$, $f''(x) < 0 \implies$ la función es **cóncava** ($\cap$). ✅ **Resultado (Curvatura):** $$\boxed{\text{Convexa en } (-\infty, -2) \text{ y Cóncava en } (-2, +\infty)}$$

**b) (0.8 puntos) Calcule sus asíntotas.** **1. Asíntotas Verticales (A.V.):** Probamos en el punto de discontinuidad $x = -2$: $$\lim_{x \to -2} \left( 1 - \frac{2}{x + 2} \right) = 1 - \frac{2}{0} = \infty$$ Límites laterales: $$\lim_{x \to -2^-} \left( 1 - \frac{2}{x + 2} \right) = 1 - \frac{2}{0^-} = 1 - (-\infty) = +\infty$$ $$\lim_{x \to -2^+} \left( 1 - \frac{2}{x + 2} \right) = 1 - \frac{2}{0^+} = 1 - (+\infty) = -\infty$$ Hay una **A.V. en $x = -2$**. **2. Asíntotas Horizontales (A.H.):** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \left( 1 - \frac{2}{x + 2} \right) = 1 - \frac{2}{\infty} = 1 - 0 = 1$$ Hay una **A.H. en $y = 1$**. **3. Asíntotas Oblicuas (A.O.):** Como existe asíntota horizontal por ambos lados, no hay asíntotas oblicuas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A.V.: } x = -2, \quad \text{A.H.: } y = 1}$$

**c) (0.9 puntos) Represéntela gráficamente.** Para una mejor representación, calculamos los puntos de corte con los ejes: - **Eje Y ($x=0$):** $f(0) = 1 - \frac{2}{0 + 2} = 1 - 1 = 0$. Punto $(0, 0)$. - **Eje X ($y=0$):** $0 = 1 - \frac{2}{x + 2} \implies 1 = \frac{2}{x + 2} \implies x + 2 = 2 \implies x = 0$. Punto $(0, 0)$. Uniendo la información de asíntotas, crecimiento y curvatura, obtenemos la gráfica de la función (una hipérbola desplazada).