Probabilidad en curso de conducción eficiente

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos principales a partir de los datos del enunciado: - $A$: El asistente es profesor de autoescuela. - $B$: El asistente no es profesor de autoescuela (resto de asistentes). - $M$: El asistente ha mejorado su conducción. - $\bar{M}$: El asistente no ha mejorado su conducción. Calculamos las probabilidades a priori: - Hay 200 personas en total. - $P(A) = \dfrac{60}{200} = 0.3$ - $P(B) = \dfrac{140}{200} = 0.7$ Probabilidades condicionadas dadas: - Entre los profesores ($A$), el 95% mejora: $P(M|A) = 0.95 \implies P(\bar{M}|A) = 0.05$. - En el resto ($B$), el 80% mejora: $P(M|B) = 0.80 \implies P(\bar{M}|B) = 0.20$. Representamos la situación en un árbol de probabilidad:

**a) (1.25 puntos) No haya mejorado su conducción.** Para calcular la probabilidad de que un asistente no haya mejorado su conducción, $P(\bar{M})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de los caminos que terminan en el suceso $\bar{M}$: $$P(\bar{M}) = P(A) \cdot P(\bar{M}|A) + P(B) \cdot P(\bar{M}|B)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(\bar{M}) = (0.3 \cdot 0.05) + (0.7 \cdot 0.20)$$ $$P(\bar{M}) = 0.015 + 0.14 = 0.155$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que salen de un mismo nodo debe ser 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{M}) = 0.155}$$

**b) (1.25 puntos) No sea profesor de autoescuela, sabiendo que ha mejorado su conducción.** Nos piden calcular la probabilidad de que no sea profesor ($B$) dado que sabemos que ha mejorado ($M$). Esto es una probabilidad a posteriori, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(B|M) = \frac{P(B \cap M)}{P(M)}$$ Primero, calculamos $P(M)$. Como sabemos que $P(\bar{M}) = 0.155$, podemos usar el suceso contrario: $$P(M) = 1 - P(\bar{M}) = 1 - 0.155 = 0.845$$ Ahora, calculamos la probabilidad de la intersección $P(B \cap M)$: $$P(B \cap M) = P(B) \cdot P(M|B) = 0.7 \cdot 0.80 = 0.56$$ Finalmente, calculamos el cociente: $$P(B|M) = \frac{0.56}{0.845} \approx 0.6627$$ 💡 **Tip:** En el Teorema de Bayes, el numerador es siempre uno de los sumandos que forman el denominador en el Teorema de la Probabilidad Total (si se hubiera calculado $P(M)$ por ese método). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|M) = \frac{112}{169} \approx 0.6627}$$