Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Calcule un intervalo de confianza, al 96%, para el rendimiento medio de los depósitos a plazo. ¿Cuál es el error máximo cometido en la estimación?** Primero, extraemos los datos del enunciado para la variable rendimiento $X$, que sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 1.8$ - Tamaño de la muestra: $n = 36$ - Media muestral: $\bar{x} = 2.5$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.96$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ asociado al $96\%$. Si $1 - \alpha = 0.96$, entonces $\alpha = 0.04$, por lo que la probabilidad acumulada hasta el valor crítico es: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.02 = 0.98$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$, el valor cuya probabilidad es más cercana a $0.98$ es: $$z_{\alpha/2} = 2.055$$ 💡 **Tip:** Para encontrar $z_{\alpha/2}$, recuerda que buscamos el valor que deja un área de $0.98$ a su izquierda. Como $0.98$ está justo entre $2.05$ (0.9798) y $2.06$ (0.9803), tomamos el punto medio $2.055$.

El error máximo permitido ($E$) en una estimación de la media viene dado por la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$E = 2.055 \cdot \frac{1.8}{\sqrt{36}} = 2.055 \cdot \frac{1.8}{6} = 2.055 \cdot 0.3 = 0.6165$$ Ahora calculamos el intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$: $$I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$$ $$I.C. = (2.5 - 0.6165, 2.5 + 0.6165) = (1.8835, 3.1165)$$ 💡 **Tip:** El error máximo es la distancia desde el centro del intervalo (la media muestral) hasta sus extremos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Error máximo: } 0.6165 \quad \text{I.C. al 96\%}: (1.8835, 3.1165)}$$

**b) (1 punto) Manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para estimar el rendimiento medio de los depósitos con un error máximo de 0.5?** En este apartado, buscamos un nuevo valor de $n$ sabiendo que: - El nivel de confianza se mantiene ($1 - \alpha = 0.96$), por lo que $z_{\alpha/2} = 2.055$. - El error máximo deseado es $E \le 0.5$. Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los datos: $$n \ge \left( \frac{2.055 \cdot 1.8}{0.5} \right)^2 = \left( \frac{3.699}{0.5} \right)^2 = (7.398)^2 = 54.7304$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** $0.5$, debemos redondear siempre al entero superior para asegurar que el error sea menor o igual al solicitado. 💡 **Tip:** Aunque el decimal sea bajo (por ejemplo, $54.1$), siempre redondeamos hacia arriba en ejercicios de tamaño muestral para garantizar la precisión exigida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 55 \text{ entidades bancarias}}$$