Programación Lineal: Región factible y optimización

**a) (1.9 puntos) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones $7x - y \geq -10; x + y \leq 2; 3x - 5y \leq 14$ y determine sus vértices.** Para representar la región, primero convertimos las inecuaciones en ecuaciones de rectas para obtener las fronteras: 1. $r_1: 7x - y = -10 \implies y = 7x + 10$ 2. $r_2: x + y = 2 \implies y = -x + 2$ 3. $r_3: 3x - 5y = 14 \implies y = \dfrac{3x - 14}{5}$ A continuación, determinamos qué lado de cada recta cumple la inecuación usando un punto de prueba, por ejemplo el origen $(0,0)$: - Para $7x - y \geq -10$: $7(0) - 0 \geq -10 \implies 0 \geq -10$ (**Verdadero**). El semiplano contiene al $(0,0)$. - Para $x + y \leq 2$: $0 + 0 \leq 2 \implies 0 \leq 2$ (**Verdadero**). El semiplano contiene al $(0,0)$. - Para $3x - 5y \leq 14$: $3(0) - 5(0) \leq 14 \implies 0 \leq 14$ (**Verdadero**). El semiplano contiene al $(0,0)$. 💡 **Tip:** Si al sustituir el punto $(0,0)$ la desigualdad es cierta, sombreamos el lado donde está el origen. Si es falsa, sombreamos el lado contrario.

Los vértices son los puntos de intersección de las rectas que delimitan la región. Los calculamos resolviendo los sistemas de dos en dos: **Vértice A (Intersección de $r_1$ y $r_2$):** $$\begin{cases} 7x - y = -10 \\ x + y = 2 \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $$8x = -8 \implies x = -1$$ Sustituimos en $r_2$: $(-1) + y = 2 \implies y = 3$. Por tanto, **$A(-1, 3)$**. **Vértice B (Intersección de $r_2$ y $r_3$):** $$\begin{cases} x + y = 2 \implies y = 2 - x \\ 3x - 5y = 14 \end{cases}$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación: $$3x - 5(2 - x) = 14 \implies 3x - 10 + 5x = 14 \implies 8x = 24 \implies x = 3$$ Sustituimos para hallar $y$: $y = 2 - 3 = -1$. Por tanto, **$B(3, -1)$**. **Vértice C (Intersección de $r_1$ y $r_3$):** $$\begin{cases} y = 7x + 10 \\ 3x - 5y = 14 \end{cases}$$ Sustituimos $y$: $$3x - 5(7x + 10) = 14 \implies 3x - 35x - 50 = 14 \implies -32x = 64 \implies x = -2$$ Sustituimos para hallar $y$: $y = 7(-2) + 10 = -4$. Por tanto, **$C(-2, -4)$**. ✅ **Resultado (Vértices):** $$\boxed{A(-1, 3), \quad B(3, -1), \quad C(-2, -4)}$$

**b) (0.6 puntos) Calcule los valores máximo y mínimo que alcanza la función $F(x, y) = 2x + 3y$ en dicha región.** Según el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo y el mínimo de una función lineal en una región poligonal convexa se encuentran en sus vértices. Evaluamos $F(x, y) = 2x + 3y$ en cada punto: - En $A(-1, 3)$: $F(-1, 3) = 2(-1) + 3(3) = -2 + 9 = 7$ - En $B(3, -1)$: $F(3, -1) = 2(3) + 3(-1) = 6 - 3 = 3$ - En $C(-2, -4)$: $F(-2, -4) = 2(-2) + 3(-4) = -4 - 12 = -16$ Comparando los resultados: - El valor máximo es **7** y se alcanza en el punto **$A(-1, 3)$**. - El valor mínimo es **-16** y se alcanza en el punto **$C(-2, -4)$**. 💡 **Tip:** Si la región fuera no acotada, el máximo o el mínimo podrían no existir, pero al ser un triángulo cerrado, siempre existen ambos. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo: } 7 \text{ en } (-1, 3); \quad \text{Mínimo: } -16 \text{ en } (-2, -4)}$$