Análisis de la evolución del porcentaje de células afectadas

**a) (0.5 puntos) Estudie la continuidad de la función $P$.** Para estudiar la continuidad de una función definida a trozos, debemos analizar cada rama y el punto de salto ($t = 5$). 1. **Intervalo $(0, 5)$:** La función $P(t) = t^2$ es una función polinómica, por lo que es continua en todo su dominio. 2. **Intervalo $(5, +\infty)$:** La función $P(t) = \frac{100t - 250}{t + 5}$ es una función racional. El único punto donde no es continua es donde el denominador se anula ($t = -5$). Como $-5$ no está en el intervalo $t > 5$, la función es continua en esta rama. 3. **En el punto $t = 5$:** Debemos comprobar si los límites laterales coinciden con el valor de la función: - Valor de la función: $P(5) = 5^2 = 25$. - Límite por la izquierda: $\lim_{t \to 5^-} P(t) = \lim_{t \to 5} t^2 = 25$. - Límite por la derecha: $\lim_{t \to 5^+} P(t) = \lim_{t \to 5} \frac{100t - 250}{t + 5} = \frac{100(5) - 250}{5 + 5} = \frac{500 - 250}{10} = \frac{250}{10} = 25$. Como $\lim_{t \to 5^-} P(t) = \lim_{t \to 5^+} P(t) = P(5) = 25$, la función es continua en $t = 5$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto $a$ si existe el límite cuando $x \to a$ y este coincide con $f(a)$. En funciones a trozos, esto implica que las ramas deben "engancharse" perfectamente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } P(t) \text{ es continua para todo } t \geq 0}$$

**b) (0.75 puntos) Estudie la derivabilidad de $P$ en $t = 5$.** Primero, calculamos la derivada de cada rama para $t \neq 5$: - Para $0 \lt t \lt 5$: $P'(t) = (t^2)' = 2t$. - Para $t \gt 5$: Usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$P'(t) = \frac{100(t + 5) - (100t - 250)(1)}{(t + 5)^2} = \frac{100t + 500 - 100t + 250}{(t + 5)^2} = \frac{750}{(t + 5)^2}$$ Ahora evaluamos las derivadas laterales en $t = 5$: - Derivada por la izquierda: $P'(5^-) = 2(5) = 10$. - Derivada por la derecha: $P'(5^+) = \frac{750}{(5 + 5)^2} = \frac{750}{100} = 7.5$. Como $P'(5^-) \neq P'(5^+)$, la función no es derivable en $t = 5$. 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua y, además, sus derivadas laterales en dicho punto deben ser iguales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función no es derivable en } t = 5 \text{ (existe un punto anguloso)}}$$

**c) (0.75 puntos) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas.** Analizamos el signo de la derivada $P'(t)$ obtenida en el paso anterior: $$P'(t) = \begin{cases} 2t & \text{si } 0 \lt t \lt 5 \\ \frac{750}{(t + 5)^2} & \text{si } t \gt 5 \end{cases}$$ - En el intervalo $(0, 5)$, $P'(t) = 2t$. Como $t$ es positivo, $P'(t) \gt 0$. - En el intervalo $(5, +\infty)$, $P'(t) = \frac{750}{(t + 5)^2}$. Al ser un cociente de números positivos, $P'(t) \gt 0$. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 5) & 5 & (5, +\infty) \\\hline P'(t) & + & \nexists & + \\\hline P(t) & \nearrow & \text{cont.} & \nearrow \end{array}$$ Interpretación: El porcentaje de células afectadas **siempre crece** con el tiempo. Además, si calculamos el límite cuando $t \to +\infty$: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{100t - 250}{t + 5} = 100$$ Esto indica que, a largo plazo, el porcentaje de células afectadas tiende a estabilizarse en el $100\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es estrictamente creciente en todo su dominio. El porcentaje de infección aumenta siempre.}}$$

**d) (0.5 puntos) ¿En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50?** Debemos resolver la ecuación $P(t) = 50$ en cada rama y verificar si la solución pertenece al intervalo correspondiente. 1. **Primera rama ($0 \leq t \leq 5$):** $$t^2 = 50 \implies t = \sqrt{50} \approx 7.07$$ Como $7.07 \gt 5$, esta solución no es válida para este tramo. 2. **Segunda rama ($t \gt 5$):** $$\frac{100t - 250}{t + 5} = 50$$ Multiplicamos en cruz: $$100t - 250 = 50(t + 5)$$ $$100t - 250 = 50t + 250$$ $$50t = 500 \implies t = 10$$ Como $10 \gt 5$, esta solución es válida. 💡 **Tip:** En problemas de contexto, siempre comprueba que el valor de la variable obtenido ($t$) esté dentro del intervalo de definición de la función que estás usando. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, el porcentaje valdrá 50 cuando hayan transcurrido } t = 10 \text{ meses.}}$$