Probabilidad en la población activa: mujeres, hombres y desempleo

**a) (1.25 puntos) Elegida, al azar, una persona de la población activa de esa provincia, calcule la probabilidad de que esté en paro.** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información: * $M$: La persona elegida es **mujer**. * $H$: La persona elegida es **hombre**. * $P$: La persona elegida está en **paro** (desempleada). * $\bar{P}$: La persona elegida **trabaja** (no está en paro). Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades: * $P(M) = 44\% = 0.44$ * Como una persona es hombre o mujer, $P(H) = 1 - P(M) = 1 - 0.44 = 0.56$ * Probabilidad de estar en paro sabiendo que es mujer: $P(P|M) = 25\% = 0.25$ * Probabilidad de estar en paro sabiendo que es hombre: $P(P|H) = 20\% = 0.20$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad con sucesos encadenados, siempre es útil definir claramente qué significa cada letra y convertir los porcentajes a números decimales dividiendo por 100.

Para visualizar mejor las probabilidades y sus intersecciones, construimos un árbol de decisión:

Para calcular la probabilidad de que una persona esté en paro, $P(P)$, sumamos las probabilidades de ser mujer en paro y hombre en paro. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(P) = P(M) \cdot P(P|M) + P(H) \cdot P(P|H)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(P) = (0.44 \cdot 0.25) + (0.56 \cdot 0.20)$$ $$P(P) = 0.11 + 0.112 = 0.222$$ La probabilidad de que una persona elegida al azar esté en paro es de $0.222$ (o un $22.2\%$). ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(P) = 0.222}$$

**b) (1.25 puntos) Si hemos elegido, al azar, una persona que trabaja, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?** Nos piden una probabilidad condicionada: la probabilidad de ser hombre ($H$) dado que la persona trabaja ($\bar{P}$). Es decir, queremos calcular $P(H|\bar{P})$. Utilizamos el **Teorema de Bayes**: $$P(H|\bar{P}) = \frac{P(H \cap \bar{P})}{P(\bar{P})}$$ Calculamos los componentes: 1. $P(H \cap \bar{P}) = P(H) \cdot P(\bar{P}|H) = 0.56 \cdot 0.80 = 0.448$ 2. $P(\bar{P})$ es la probabilidad de que una persona trabaje. Como es el suceso contrario a estar en paro: $$P(\bar{P}) = 1 - P(P) = 1 - 0.222 = 0.778$$ Sustituimos en la fórmula de Bayes: $$P(H|\bar{P}) = \frac{0.448}{0.778} \approx 0.5758$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ no es lo mismo que $P(B|A)$. En este caso, nos dan información sobre el resultado final (trabaja) y preguntamos por el origen (hombre). ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(H|\bar{P}) \approx 0.5758}$$