Muestreo estratificado y distribución de medias muestrales

**a) (1 punto) En una ciudad viven 400 hombres y 320 mujeres y se quiere seleccionar una muestra de tamaño 54 utilizando muestreo estratificado por sexos, con afijación proporcional, ¿cuál sería la composición de la muestra?** En el muestreo estratificado con afijación proporcional, el número de elementos de cada estrato en la muestra ($n_i$) debe ser proporcional al número de elementos de ese estrato en la población ($N_i$). Primero, calculamos el tamaño total de la población ($N$): $$N = 400 \text{ hombres} + 320 \text{ mujeres} = 720 \text{ habitantes}$$ El tamaño de la muestra deseado es $n = 54$. La constante de proporcionalidad (o cuota de muestreo) es: $$k = \frac{n}{N} = \frac{54}{720} = 0.075$$ 💡 **Tip:** La afijación proporcional significa que todos los estratos mantienen la misma proporción en la muestra que en la población: $\frac{n_H}{N_H} = \frac{n_M}{N_M} = \frac{n}{N}$.

Ahora aplicamos la constante $k$ a cada estrato para hallar el número de individuos de la muestra: - **Hombres ($n_H$):** $$n_H = 400 \cdot 0.075 = 30$$ - **Mujeres ($n_M$):** $$n_M = 320 \cdot 0.075 = 24$$ Comprobamos que la suma sea correcta: $30 + 24 = 54$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La muestra estará compuesta por 30 hombres y 24 mujeres}}$$

**b) (1.5 puntos) A partir de una población de elementos 1, 2, 3, 4 se seleccionan, mediante muestreo aleatorio simple, todas las muestras de tamaño 2. Escriba dichas muestras y calcule la varianza de las medias muestrales.** En un muestreo aleatorio simple (MAS) con reemplazamiento de una población con $N=4$ elementos para obtener muestras de tamaño $n=2$, el número total de muestras posibles es $N^n = 4^2 = 16$. Las muestras posibles $(x_1, x_2)$ son: $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) \\ \hline (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) \\ \hline (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) \\ \hline (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** En este tipo de ejercicios de Selectividad, el muestreo aleatorio simple suele considerarse con reposición y teniendo en cuenta el orden, a menos que se indique lo contrario.

Calculamos la media $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2}{2}$ para cada una de las 16 muestras anteriores: - $\bar{x}=1$: $(1,1)$ - $\bar{x}=1.5$: $(1,2), (2,1)$ - $\bar{x}=2$: $(1,3), (3,1), (2,2)$ - $\bar{x}=2.5$: $(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)$ - $\bar{x}=3$: $(2,4), (4,2), (3,3)$ - $\bar{x}=3.5$: $(3,4), (4,3)$ - $\bar{x}=4$: $(4,4)$ Resumimos los datos en una tabla de frecuencias para la variable aleatoria $\bar{X}$ (media muestral): $$\begin{array}{c|ccccccc|c} \bar{x}_i & 1 & 1.5 & 2 & 2.5 & 3 & 3.5 & 4 & \sum \\ \hline f_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 3 & 2 & 1 & 16 \end{array}$$ 💡 **Tip:** La suma de las frecuencias $f_i$ debe coincidir con el número total de muestras (16).

Para calcular la varianza de la media muestral $\sigma_{\bar{X}}^2$, usamos la fórmula: $$\sigma_{\bar{X}}^2 = \frac{\sum \bar{x}_i^2 \cdot f_i}{N_{total}} - \mu_{\bar{X}}^2$$ Primero, calculamos la media de las medias (esperanza): $$\mu_{\bar{X}} = \frac{1(1) + 1.5(2) + 2(3) + 2.5(4) + 3(3) + 3.5(2) + 4(1)}{16}$$ $$\mu_{\bar{X}} = \frac{1 + 3 + 6 + 10 + 9 + 7 + 4}{16} = \frac{40}{16} = 2.5$$ Ahora, calculamos el sumatorio de los cuadrados: $$\sum \bar{x}_i^2 \cdot f_i = 1^2(1) + 1.5^2(2) + 2^2(3) + 2.5^2(4) + 3^2(3) + 3.5^2(2) + 4^2(1)$$ $$= 1 + 4.5 + 12 + 25 + 27 + 24.5 + 16 = 110$$ Finalmente, la varianza es: $$\sigma_{\bar{X}}^2 = \frac{110}{16} - (2.5)^2 = 6.875 - 6.25 = 0.625$$ 💡 **Tip:** También podrías calcular la varianza poblacional $\sigma^2$ y dividirla por $n$. Para $\{1, 2, 3, 4\}$, $\sigma^2 = 1.25$. Entonces $\sigma_{\bar{X}}^2 = 1.25 / 2 = 0.625$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sigma_{\bar{X}}^2 = 0.625}$$