Monotonía, curvatura y recta tangente

**a) (1.5 puntos) Estudie la monotonía y la curvatura de $f$.** Para estudiar la monotonía, primero buscamos los puntos críticos de la función igualando su primera derivada a cero: $$f'(x) = 3x^2 - 8x + 5 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6} = \frac{8 \pm 2}{6}$$ Obtenemos dos soluciones: $$x_1 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}, \quad x_2 = \frac{6}{6} = 1$$ Ahora estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, 5/3) & 5/3 & (5/3, +\infty) \\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$ Interpretación de la tabla: - En $(-\infty, 1)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f$ es **creciente**. - En $(1, 5/3)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que $f$ es **decreciente**. - En $(5/3, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f$ es **creciente**. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(x) \gt 0$ la función crece y si $f'(x) \lt 0$ la función decrece. Los puntos donde la derivada se anula son posibles máximos o mínimos. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (-\infty, 1) \cup (5/3, +\infty) \text{ y decreciente en } (1, 5/3)}$$

Para estudiar la curvatura, calculamos la segunda derivada de la función derivando $f'(x)$: $$f''(x) = (3x^2 - 8x + 5)' = 6x - 8$$ Buscamos los puntos de inflexión igualando la segunda derivada a cero: $$6x - 8 = 0 \implies 6x = 8 \implies x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ a ambos lados de $x = 4/3$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 4/3) & 4/3 & (4/3, +\infty) \\\hline f''(x) & - & 0 & + \end{array}$$ Interpretación de la tabla: - En $(-\infty, 4/3)$, $f''(x) \lt 0$, la función es **cóncava (hacia abajo)** $\cap$. - En $(4/3, +\infty)$, $f''(x) \gt 0$, la función es **convexa (hacia arriba)** $\cup$. 💡 **Tip:** Un cambio de signo en la segunda derivada indica la existencia de un punto de inflexión. ✅ **Resultado (Curvatura):** $$\boxed{\text{Cóncava en } (-\infty, 4/3) \text{ y convexa en } (4/3, +\infty)}$$

**b) (1 punto) Sabiendo que la gráfica de $f$ pasa por el punto (1, 1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto.** La ecuación de la recta tangente en un punto $(a, f(a))$ viene dada por la fórmula: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ En este caso, el punto es $(1, 1)$, por lo que $a = 1$ y $f(1) = 1$. Necesitamos calcular la pendiente de la tangente, que es el valor de la derivada en dicho punto: $$m = f'(1) = 3(1)^2 - 8(1) + 5 = 3 - 8 + 5 = 0$$ Sustituimos los valores en la ecuación: $$y - 1 = 0(x - 1)$$ $$y - 1 = 0$$ $$y = 1$$ La recta tangente es una recta horizontal. 💡 **Tip:** Siempre que la derivada en el punto de tangencia sea 0, la recta tangente será de la forma $y = k$, donde $k$ es la ordenada del punto. ✅ **Resultado (Recta tangente):** $$\boxed{y = 1}$$