Probabilidad de contratación de viajes por internet

Para resolver este problema, primero definimos los eventos y organizamos la información proporcionada en una tabla de contingencia. Sean los eventos: - $H$: Ser hombre. - $M$: Ser mujer. - $I$: Contratar viajes por internet. - $\bar{I}$: No contratar viajes por internet. Datos conocidos: - Total de congresistas: $200$ - Número de hombres ($H$): $120$ - Número de mujeres ($M$): $200 - 120 = 80$ - Hombres que usan internet ($H \cap I$): $84$ - Mujeres que no usan internet ($M \cap \bar{I}$): $24$ Completamos la tabla sumando o restando: - Hombres que no usan internet: $120 - 84 = 36$ - Mujeres que usan internet: $80 - 24 = 56$ - Total de personas que usan internet: $84 + 56 = 140$ - Total de personas que no usan internet: $36 + 24 = 60$ **Tabla de contingencia:** $$ \begin{array}{c|cc|c} & \text{Hombres } (H) & \text{Mujeres } (M) & \text{Total} \\ \hline \text{Internet } (I) & 84 & 56 & 140 \\ \text{No internet } (\bar{I}) & 36 & 24 & 60 \\ \hline \text{Total} & 120 & 80 & 200 \end{array} $$ 💡 **Tip:** Las tablas de contingencia son ideales cuando tenemos dos variables cualitativas cruzadas y conocemos las frecuencias absolutas, ya que facilitan mucho el cálculo de probabilidades simples y condicionadas.

**a) (1 punto) No contrate sus viajes por internet.** Buscamos la probabilidad del evento $\bar{I}$. Según la ley de Laplace: $$P(\bar{I}) = \frac{\text{Casos favorables a } \bar{I}}{\text{Casos posibles}}$$ Mirando nuestra tabla, el total de personas que no contratan por internet es $60$ y el total de congresistas es $200$: $$P(\bar{I}) = \frac{60}{200}$$ Simplificamos la fracción: $$P(\bar{I}) = \frac{6}{20} = 0.3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{I}) = 0.3}$$

**b) (0.75 puntos) Use internet para contratar los viajes, si la persona elegida es una mujer.** Este apartado nos pide una probabilidad condicionada: la probabilidad de usar internet ($I$) sabiendo que la persona es mujer ($M$). Se denota como $P(I|M)$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(I|M) = \frac{P(I \cap M)}{P(M)}$$ Si usamos los valores directos de la tabla (restringiendo el espacio muestral solo a las mujeres): - Casos favorables (mujeres que usan internet): $56$ - Casos posibles (total de mujeres): $80$ $$P(I|M) = \frac{56}{80}$$ Calculamos el valor decimal: $$P(I|M) = 0.7$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ significa que ya sabemos que $B$ ha ocurrido, por lo que nuestro "universo" o denominador pasa a ser el total de $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(I|M) = 0.7}$$

**c) (0.75 puntos) Sea hombre, sabiendo que contrata sus viajes por internet.** En este caso, se nos pide la probabilidad de que sea hombre ($H$) dado que ya sabemos que contrata por internet ($I$). Es decir, $P(H|I)$. Nuevamente, usando la tabla de contingencia restringimos el espacio muestral al grupo de personas que usan internet: - Casos favorables (hombres que usan internet): $84$ - Casos posibles (total de personas que usan internet): $140$ $$P(H|I) = \frac{84}{140}$$ Simplificamos dividiendo entre $14$ o calculando directamente: $$P(H|I) = \frac{6}{10} = 0.6$$ También podríamos haber aplicado el **Teorema de Bayes**, pero con la tabla de contingencia el cálculo es mucho más directo y menos propenso a errores. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H|I) = 0.6}$$