Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.25 puntos) Halle el intervalo de confianza para el tiempo medio de reacción, con un nivel de confianza del 99%.** En primer lugar, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para el estudio de la media poblacional $\mu$: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0.05$ s. - Tamaño de la muestra: $n = 50$. - Media muestral: $\bar{x} = 0.85$ s. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99$. Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0.99$, entonces el nivel de significación es $\alpha = 0.01$. 2. Repartimos el error en las dos colas de la distribución: $\alpha/2 = 0.005$. 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$$ Consultando la tabla de la distribución Normal estándar $N(0, 1)$, observamos que el valor $0.995$ se encuentra exactamente a la mitad entre $2.57$ ($0.9949$) y $2.58$ ($0.9951$). 💡 **Tip:** Cuando un valor de probabilidad está a la misma distancia de dos valores en la tabla, se suele tomar el valor medio. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.575}$$

El intervalo de confianza para la media se define como $I = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, donde $E$ es el error máximo admisible. Calculamos el error utilizando la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ $$E = 2.575 \cdot \frac{0.05}{\sqrt{50}}$$ $$E = 2.575 \cdot \frac{0.05}{7.0711} \approx 2.575 \cdot 0.00707 \approx 0.0182$$ Ahora, aplicamos este error a la media muestral: - Límite inferior: $\bar{x} - E = 0.85 - 0.0182 = 0.8318$ - Límite superior: $\bar{x} + E = 0.85 + 0.0182 = 0.8682$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza nos dice que tenemos una seguridad del 99% de que el verdadero tiempo medio de reacción de todos los conductores está comprendido entre esos dos valores. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I = [0.8318, \, 0.8682]}$$

**b) (1.25 puntos) ¿De qué tamaño mínimo ha de tomarse una muestra para que el error de estimación no supere 0.01 segundos, con un nivel de confianza del 95%?** Para este apartado, cambian las condiciones de nuestro estudio: - El error máximo permitido ahora es $E \le 0.01$ s. - El nivel de confianza es del 95%, es decir, $1 - \alpha = 0.95$. Repetimos el proceso para hallar el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0.95$, entonces $\alpha = 0.05$ y $\alpha/2 = 0.025$. 2. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$$ En la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, encontramos este valor de forma exacta para: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$

Utilizamos la fórmula del error para despejar el tamaño de la muestra $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le 0.01$$ Sustituimos los datos conocidos: $$1.96 \cdot \frac{0.05}{\sqrt{n}} \le 0.01$$ $$\frac{0.098}{\sqrt{n}} \le 0.01$$ Despejamos $\sqrt{n}$ multiplicando en ambos lados y pasando el $0.01$ dividiendo: $$0.098 \le 0.01 \cdot \sqrt{n} \implies \frac{0.098}{0.01} \le \sqrt{n} \implies 9.8 \le \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado para obtener $n$: $$n \ge (9.8)^2 = 96.04$$ 💡 **Tip:** Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero y queremos garantizar que el error **no supere** el valor dado, siempre debemos redondear el resultado al número entero superior, aunque el decimal sea pequeño. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 97}$$