Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (0.5 puntos) Razone si el punto de coordenadas (7, 3) pertenece al recinto.** Para comprobar si un punto pertenece al recinto, debe cumplir simultáneamente todas las inecuaciones que lo definen. Sustituimos $x=7$ e $y=3$ en cada una: 1) Para $3x + 4y \geq 28$: $$3(7) + 4(3) = 21 + 12 = 33 \geq 28 \quad \text{(Verdadero)}$$ 2) Para $5x + 2y \leq 42$: $$5(7) + 2(3) = 35 + 6 = 41 \leq 42 \quad \text{(Verdadero)}$$ 3) Para $x - y \geq 0$: $$7 - 3 = 4 \geq 0 \quad \text{(Verdadero)}$$ Como el punto satisface las tres desigualdades, podemos concluir que el punto pertenece al recinto. 💡 **Tip:** Un punto está en la región factible solo si al sustituir sus coordenadas en todas las inecuaciones del sistema, se obtienen afirmaciones matemáticas ciertas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El punto (7, 3) sí pertenece al recinto}}$$

**b) (1.5 puntos) Represente dicho recinto y halle sus vértices.** Primero, dibujamos las rectas que delimitan el recinto buscando dos puntos para cada una: * **Recta $r_1$ ($3x + 4y = 28$):** Si $x=0 \rightarrow y=7$. Punto $(0, 7)$ Si $y=4 \rightarrow x=4$. Punto $(4, 4)$ * **Recta $r_2$ ($5x + 2y = 42$):** Si $x=0 \rightarrow y=21$. Punto $(0, 21)$ Si $y=1 \rightarrow x=8$. Punto $(8, 1)$ * **Recta $r_3$ ($x - y = 0 \rightarrow y = x$):** Si $x=0 \rightarrow y=0$. Punto $(0, 0)$ Si $x=5 \rightarrow y=5$. Punto $(5, 5)$ 💡 **Tip:** Para saber hacia qué lado de la recta sombrear la inecuación, toma un punto de prueba que no esté en la recta (como el $(0,0)$) y mira si cumple la desigualdad.

Los vértices se obtienen hallando el punto de corte de las rectas dos a dos mediante sistemas de ecuaciones: * **Vértice A (Corte $r_1$ y $r_3$):** $$\begin{cases} 3x + 4y = 28 \\ x - y = 0 \rightarrow x=y \end{cases}$$ Sustituyendo: $3x + 4x = 28 \rightarrow 7x = 28 \rightarrow x=4$. Por tanto, $y=4$. **$A(4, 4)$** * **Vértice B (Corte $r_2$ y $r_3$):** $$\begin{cases} 5x + 2y = 42 \\ x - y = 0 \rightarrow x=y \end{cases}$$ Sustituyendo: $5x + 2x = 42 \rightarrow 7x = 42 \rightarrow x=6$. Por tanto, $y=6$. **$B(6, 6)$** * **Vértice C (Corte $r_1$ y $r_2$):** $$\begin{cases} 3x + 4y = 28 \\ 5x + 2y = 42 \end{cases}$$ Multiplicamos la segunda por $-2$: $-10x - 4y = -84$. Sumamos a la primera: $(3x - 10x) + (4y - 4y) = 28 - 84 \rightarrow -7x = -56 \rightarrow x=8$. Sustituyendo $x=8$ en $r_1$: $3(8) + 4y = 28 \rightarrow 24 + 4y = 28 \rightarrow 4y = 4 \rightarrow y=1$. **$C(8, 1)$** ✅ **Vértices:** $$\boxed{A(4,4), \; B(6,6), \; C(8,1)}$$

**c) (0.5 puntos) Calcule el valor máximo de la función $F(x, y) = 3x - 2y + 6$ en el recinto, indicando el punto o puntos donde se alcanza ese máximo.** Según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal, el máximo de una función lineal en un recinto cerrado y acotado se alcanza en uno de sus vértices. Evaluamos $F(x, y)$ en cada uno: * $F(4, 4) = 3(4) - 2(4) + 6 = 12 - 8 + 6 = 10$ * $F(6, 6) = 3(6) - 2(6) + 6 = 18 - 12 + 6 = 12$ * $F(8, 1) = 3(8) - 2(1) + 6 = 24 - 2 + 6 = 28$ Comparamos los valores obtenidos: $10$, $12$ y $28$. El valor más alto es $28$. 💡 **Tip:** Si el recinto es acotado (está cerrado por todos lados), el máximo y el mínimo siempre estarán en los vértices o en los segmentos que los unen. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El máximo es 28 y se alcanza en el punto (8, 1)}}$$