Cálculo de parámetros y recta tangente

**a) (1.25 puntos) Dada la función $f(x) = 2x^2 + ax + b$, determine los valores de $a$ y $b$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 3) y alcanza un extremo en $x = -2$.** Para resolver este apartado, debemos traducir la información del enunciado en ecuaciones matemáticas: 1. **Pasa por el punto (1, 3):** Esto significa que cuando $x = 1$, el valor de la función es $y = 3$. Por tanto, se debe cumplir que $f(1) = 3$. 2. **Extremo en $x = -2$:** En los puntos donde hay un extremo relativo (máximo o mínimo), la derivada de la función es igual a cero. Por tanto, se debe cumplir que $f'(-2) = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que si una función tiene un extremo en un punto, su pendiente en ese punto es horizontal, por lo que su derivada es nula.

Primero, hallamos la derivada de la función $f(x) = 2x^2 + ax + b$: $$f'(x) = 4x + a$$ Ahora, aplicamos la condición del extremo en $x = -2$, es decir, $f'(-2) = 0$: $$f'(-2) = 4(-2) + a = 0$$ $$-8 + a = 0$$ $$\mathbf{a = 8}$$ 💡 **Tip:** Para derivar $2x^2$ bajamos el exponente multiplicando ($2 \cdot 2x^{2-1} = 4x$) y la derivada de $ax$ es simplemente $a$.

Con el valor de $a = 8$ ya calculado, nuestra función es $f(x) = 2x^2 + 8x + b$. Aplicamos la condición de que la gráfica pasa por el punto $(1, 3)$, es decir, $f(1) = 3$: $$f(1) = 2(1)^2 + 8(1) + b = 3$$ $$2 + 8 + b = 3$$ $$10 + b = 3$$ $$b = 3 - 10$$ $$\mathbf{b = -7}$$ ✅ **Resultado final del apartado a):** $$\boxed{a = 8, \quad b = -7}$$

**b) (1.25 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función $g(x) = 3x^2 - 2x + 1$, en el punto de abscisa $x = 1$.** Para hallar la ecuación de la recta tangente $y - y_0 = m(x - x_0)$, necesitamos: 1. El punto de tangencia $(x_0, y_0)$. Ya sabemos que $x_0 = 1$. Calculamos $y_0$ evaluando la función $g$ en ese punto. 2. La pendiente $m$, que es el valor de la derivada $g'(x)$ en el punto $x_0 = 1$. Calculamos la ordenada $y_0 = g(1)$: $$g(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1$$ $$g(1) = 3 - 2 + 1 = 2$$ El punto de tangencia es **$(1, 2)$**. 💡 **Tip:** La ecuación de la recta tangente en un punto $x=a$ siempre tiene la forma $y - g(a) = g'(a)(x - a)$.

Derivamos la función $g(x) = 3x^2 - 2x + 1$: $$g'(x) = 6x - 2$$ Calculamos la pendiente $m$ sustituyendo $x = 1$ en la derivada: $$m = g'(1) = 6(1) - 2 = 4$$ Ahora, sustituimos el punto $(1, 2)$ y la pendiente $m = 4$ en la fórmula de la recta tangente: $$y - 2 = 4(x - 1)$$ Simplificamos la expresión para obtener la ecuación en forma explícita: $$y - 2 = 4x - 4$$ $$y = 4x - 4 + 2$$ $$y = 4x - 2$$ ✅ **Resultado final del apartado b):** $$\boxed{y = 4x - 2}$$