Probabilidad condicionada y teorema de la probabilidad total con urnas

**a) (1 punto) La probabilidad de que la bola extraída sea negra.** Primero, definimos los sucesos del experimento para organizar la información: - $A$: Sale 5 o 6 al lanzar el dado (se elige la Urna A). - $B$: Sale 1, 2, 3 o 4 al lanzar el dado (se elige la Urna B). - $W$: La bola extraída es blanca. - $N$: La bola extraída es negra. Calculamos las probabilidades de elegir cada urna: - $P(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ (ya que hay dos resultados favorables: 5 y 6). - $P(B) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ (ya que hay cuatro resultados favorables: 1, 2, 3 y 4). Representamos el experimento mediante un **diagrama de árbol**:

Para calcular $P(N)$ aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de obtener una bola negra a través de la Urna A y a través de la Urna B: $$P(N) = P(A) \cdot P(N|A) + P(B) \cdot P(N|B)$$ Sustituimos los valores obtenidos del enunciado y del diagrama: - $P(A) = 1/3, \quad P(N|A) = 4/10$ - $P(B) = 2/3, \quad P(N|B) = 7/10$ $$P(N) = \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{10} \right) + \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{10} \right)$$ $$P(N) = \frac{4}{30} + \frac{14}{30} = \frac{18}{30}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 6: $$P(N) = \frac{3}{5} = 0,6$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un evento puede ocurrir por varios caminos distintos en el árbol. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N) = 0,6}$$

**b) (0.5 puntos) La probabilidad de que la bola sea negra y de la urna B.** En este apartado nos piden la probabilidad de la intersección, es decir, que ocurran ambos sucesos a la vez: que la bola provenga de la Urna B **y** sea Negra ($B \cap N$). Usamos la regla del producto (probabilidad compuesta): $$P(B \cap N) = P(B) \cdot P(N|B)$$ Sustituimos los valores: $$P(B \cap N) = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{10} = \frac{14}{30}$$ Simplificamos dividiendo entre 2: $$P(B \cap N) = \frac{7}{15} \approx 0,4667$$ 💡 **Tip:** La frase "probabilidad de que sea negra **y** de la urna B" indica una intersección. En el diagrama de árbol, esto corresponde a seguir una única rama específica. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B \cap N) = \frac{7}{15} \approx 0,4667}$$

**c) (1 punto) La probabilidad de que haya salido menos de 5 si la bola extraída ha sido blanca.** El suceso "haber salido menos de 5" es equivalente a haber elegido la **Urna B**, ya que esta se elige si el dado muestra 1, 2, 3 o 4 ($X \lt 5$). Nos piden una probabilidad condicionada: la probabilidad de que la urna sea la B sabiendo que la bola ha sido blanca, $P(B|W)$. Para ello utilizamos el **Teorema de Bayes**: $$P(B|W) = \frac{P(B \cap W)}{P(W)}$$ Primero, calculamos $P(W)$. Como sabemos que $P(N) = 0,6$ del apartado (a), podemos usar el suceso contrario: $$P(W) = 1 - P(N) = 1 - 0,6 = 0,4$$ Ahora calculamos $P(B \cap W)$: $$P(B \cap W) = P(B) \cdot P(W|B) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{10} = \frac{6}{30} = 0,2$$ Finalmente, aplicamos la fórmula de Bayes: $$P(B|W) = \frac{0,2}{0,4} = \frac{1}{2} = 0,5$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para calcular probabilidades "hacia atrás" en el tiempo o en el árbol, es decir, conociendo el resultado final (bola blanca), queremos saber la causa (urna B). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|W) = 0,5}$$