Contraste de hipótesis para la proporción

**a) (1.5 puntos) Establezca un contraste, con hipótesis nula $H_0 : p \geq 0.26$, para verificar la afirmación del Ayuntamiento e indique la región crítica de dicho contraste para un nivel de significación del 5%.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado: - Proporción poblacional bajo la hipótesis nula: $p_0 = 0.26$. - Tamaño de la muestra: $n = 1000$. - Proporción muestral observada: $\hat{p} = \dfrac{240}{1000} = 0.24$. - Nivel de significación: $\alpha = 0.05$. Planteamos las hipótesis del contraste: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $p \geq 0.26$ (Afirmación del Ayuntamiento). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $p < 0.26$ (Afirmación del periódico). Se trata de un **contraste unilateral de cola izquierda**, ya que el periódico intenta demostrar que la proporción real es menor que la afirmada por el Ayuntamiento. 💡 **Tip:** En un contraste de hipótesis, la hipótesis nula ($H_0$) es la que se somete a prueba y suele contener el signo de igualdad ($=, \geq, \leq$).

Para un nivel de significación $\alpha = 0.05$ en un contraste unilateral izquierdo, buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ en la tabla de la distribución Normal estándar $N(0,1)$ tal que: $$P(Z < -z_{\alpha}) = 0.05$$ Esto equivale a buscar el valor $z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \leq z_{\alpha}) = 1 - 0.05 = 0.95$$ Mirando en las tablas de la Normal, para una probabilidad de $0.95$, el valor de $z$ se encuentra entre $1.64$ y $1.65$. Tomamos el valor medio: $$z_{\alpha} = 1.645$$ Por lo tanto, el valor crítico para nuestro contraste es **$-1.645$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para $\alpha = 0.05$ en contrastes unilaterales, el valor crítico es $1.645$, mientras que para contrastes bilaterales es $1.96$.

La región crítica ($R_C$) es el conjunto de valores del estadístico de contraste que nos llevan a rechazar la hipótesis nula. Para la proporción muestral $\hat{p}$, el estadístico sigue una distribución normal $N\left(p_0, \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}\right)$. Primero calculamos el error típico (desviación típica de la proporción): $$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0.26 \cdot (1 - 0.26)}{1000}} = \sqrt{\frac{0.26 \cdot 0.74}{1000}} = \sqrt{0.0001924} \approx 0.01387$$ La región crítica para la proporción muestral $\hat{p}$ es el intervalo $(-\infty, \hat{p}_c)$, donde: $$\hat{p}_c = p_0 - z_{\alpha} \cdot \sigma_{\hat{p}} = 0.26 - 1.645 \cdot 0.01387 \approx 0.26 - 0.0228 = 0.2372$$ ✅ **Resultado (Región Crítica):** $$\boxed{R_C = (-\infty, 0.2372)}$$ *(También se puede expresar en términos de $Z$: $Z < -1.645$)*

**b) (1 punto) Con este nivel de significación ¿podría aceptarse el informe del Ayuntamiento?** Para decidir si aceptamos el informe, comprobamos si la proporción muestral obtenida por el periódico ($\hat{p} = 0.24$) cae dentro de la región crítica calculada en el apartado anterior. Observamos que: $$\hat{p} = 0.24$$ Comparamos con el valor crítico: $0.24 > 0.2372$, por lo tanto, **$0.24 \notin R_C$**. Como el valor de la muestra no pertenece a la región crítica, **no tenemos pruebas suficientes para rechazar la hipótesis nula** $H_0$ con un nivel de significación del 5%. Alternativamente, usando el estadístico de contraste estandarizado: $$Z_{obs} = \frac{\hat{p} - p_0}{\sigma_{\hat{p}}} = \frac{0.24 - 0.26}{0.01387} = \frac{-0.02}{0.01387} \approx -1.44$$ Como $-1.44 > -1.645$, el valor cae en la zona de aceptación. 💡 **Tip:** Si el estadístico observado NO cae en la región crítica, la decisión estadística correcta es "no rechazar $H_0$", lo que en el contexto del problema significa que el informe es aceptable. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, podría aceptarse el informe del Ayuntamiento ya que } \hat{p} = 0.24 \text{ no pertenece a la región crítica.}}$$