Inferencia estadística: Proporciones, Intervalos de Confianza y Contraste de Hipótesis

**a) Construir un intervalo de confianza, al 98%, para la proporción de jóvenes, de entre 18 y 25 años, que no tienen contrato de trabajo.** Primero, identificamos los datos del problema para los jóvenes que **no tienen contrato**: - Tamaño de la muestra: $n = 650$ - Jóvenes con contrato: $400$ - Jóvenes sin contrato: $x = 650 - 400 = 250$ Calculamos la proporción muestral de jóvenes sin contrato ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{250}{650} = \frac{25}{65} \approx 0.3846$$ La proporción complementaria (jóvenes con contrato) es: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.3846 = 0.6154$$ 💡 **Tip:** Lee con atención qué proporción te piden. En este apartado es sobre los que **no** tienen contrato.

Para un nivel de confianza del $98\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.98$ 2. Significación: $\alpha = 0.02$ 3. Reparto de probabilidad: $\alpha/2 = 0.01$ Buscamos en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.01 = 0.99$$ Mirando las tablas, para una probabilidad de $0.99$, el valor es aproximadamente: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.33}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, toma el más cercano o realiza una interpolación. Para $0.99$, se suele usar $2.326$ o $2.33$.

La fórmula del error máximo admisible para la proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2.33 \cdot \sqrt{\frac{0.3846 \cdot 0.6154}{650}} = 2.33 \cdot \sqrt{\frac{0.2367}{650}} = 2.33 \cdot \sqrt{0.0003641}$$ $$E \approx 2.33 \cdot 0.0191 \approx 0.0445$$ El intervalo de confianza se define como $IC = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$IC = (0.3846 - 0.0445, 0.3846 + 0.0445)$$ $$IC = (0.3401, 0.4291)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (0.3401, 0.4291)}$$

**b) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación del 1%, que al menos el 64% de jóvenes, de entre 18 y 25 años, tiene contrato de trabajo?** Ahora analizamos a los jóvenes **con contrato**. Definimos las hipótesis: - Hipótesis nula ($H_0$): $p \ge 0.64$ (La proporción es al menos del 64%) - Hipótesis alternativa ($H_1$): $p \lt 0.64$ Se trata de un contraste **unilateral izquierdo**. Datos para este apartado: - Proporción poblacional bajo estudio: $p_0 = 0.64$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{400}{650} \approx 0.6154$ - Nivel de significación: $\alpha = 0.01$ 💡 **Tip:** En los contrastes de "al menos", la región de rechazo siempre se sitúa en el lado contrario al que indica la sospecha (si creemos que es menor de lo afirmado).

Calculamos el valor del estadístico de prueba $Z$: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 \cdot q_0}{n}}} = \frac{0.6154 - 0.64}{\sqrt{\frac{0.64 \cdot 0.36}{650}}}$$ $$Z = \frac{-0.0246}{\sqrt{0.0003545}} = \frac{-0.0246}{0.01883} \approx -1.306$$ Para $\alpha = 0.01$ en un contraste unilateral izquierdo, el valor crítico $-z_{\alpha}$ es tal que: $$P(Z \le -z_{\alpha}) = 0.01 \implies P(Z \le z_{\alpha}) = 0.99$$ Esto nos da un valor crítico de $-2.33$. La **región de aceptación** es el intervalo: $$RA = [-2.33, +\infty)$$ 💡 **Tip:** Si el valor de $Z$ cae dentro de la región de aceptación, no hay pruebas suficientes para rechazar la hipótesis nula.

Comparamos nuestro estadístico calculado con el valor crítico: $$-1.306 \gt -2.33$$ Como el valor del estadístico de prueba ($Z \approx -1.31$) cae dentro de la región de aceptación, **no podemos rechazar la hipótesis nula**. Por tanto, aceptamos que la proporción de jóvenes con contrato es de al menos el 64% con un nivel de significación del 1%. ✅ **Resultado (Conclusión):** $$\boxed{\text{Sí se puede aceptar la afirmación con un nivel de significación del 1\%}}$$