Probabilidad de contratar seguro de viaje

**a) ¿Cuál es el porcentaje de clientes de la agencia que no contratan seguro de viaje?** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información: - $EP$: El cliente viaja a España y Portugal. - $UE$: El cliente viaja a otros países de la Unión Europea. - $RM$: El cliente viaja al resto del mundo. - $S$: El cliente contrata seguro de viaje. - $\bar{S}$: El cliente **no** contrata seguro de viaje. Datos del enunciado: - $P(EP) = 0.48$ - $P(UE) = 0.35$ - $P(RM) = 0.17$ - Probabilidades condicionadas de contratar seguro: $P(S|EP) = 0.20$, $P(S|UE) = 0.45$, $P(S|RM) = 0.60$. - Probabilidades condicionadas de **no** contratar seguro (complementarios): $P(\bar{S}|EP) = 0.80$, $P(\bar{S}|UE) = 0.55$, $P(\bar{S}|RM) = 0.40$. Representamos estos datos en un diagrama de árbol:

Para calcular la probabilidad total de no contratar seguro, $P(\bar{S})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Debemos sumar las probabilidades de todas las ramas que terminan en $\bar{S}$: $$P(\bar{S}) = P(EP) \cdot P(\bar{S}|EP) + P(UE) \cdot P(\bar{S}|UE) + P(RM) \cdot P(\bar{S}|RM)$$ Sustituimos los valores: $$P(\bar{S}) = (0.48 \cdot 0.80) + (0.35 \cdot 0.55) + (0.17 \cdot 0.40)$$ $$P(\bar{S}) = 0.384 + 0.1925 + 0.068 = 0.6445$$ Para dar la respuesta en porcentaje, multiplicamos por 100: $$0.6445 \cdot 100 = 64.45\%$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser 1. Por ejemplo, $P(S|EP) + P(\bar{S}|EP) = 0.20 + 0.80 = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{64.45\%}$$

**b) Si se elige un cliente que ha contratado un seguro de viaje, ¿cuál es la probabilidad de que viaje a España y Portugal?** Nos piden la probabilidad de que viaje a España y Portugal sabiendo que ha contratado seguro, es decir, la probabilidad condicionada $P(EP|S)$. Para ello usamos el **Teorema de Bayes**: $$P(EP|S) = \frac{P(EP \cap S)}{P(S)}$$ Primero, necesitamos $P(S)$, que es el suceso contrario a no contratar seguro: $$P(S) = 1 - P(\bar{S}) = 1 - 0.6445 = 0.3555$$ Ahora calculamos la intersección $P(EP \cap S)$: $$P(EP \cap S) = P(EP) \cdot P(S|EP) = 0.48 \cdot 0.20 = 0.096$$ Finalmente, aplicamos la fórmula de Bayes: $$P(EP|S) = \frac{0.096}{0.3555} \approx 0.27004$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza para calcular probabilidades "hacia atrás" en el árbol, es decir, cuando conocemos el resultado final (contrató seguro) y queremos saber la causa (destino). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(EP|S) \approx 0.27}$$