Valor de un producto electrónico: Monotonía y Extremos

**a) ¿Cuándo crece y cuándo decrece la función?** Primero, para facilitar los cálculos, desarrollamos la expresión de la función $E(x)$: $$E(x) = -(x^2 - 75x + 25x - 1875) = -(x^2 - 50x - 1875)$$ $$E(x) = -x^2 + 50x + 1875$$ Para estudiar el crecimiento (monotonía), calculamos su derivada $E'(x)$: $$E'(x) = -2x + 50$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$-2x + 50 = 0 \implies 2x = 50 \implies x = 25$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una función crece cuando $E'(x) > 0$ y decrece cuando $E'(x) < 0$. El valor $x$ representa meses, por lo que consideraremos el dominio $x \ge 0$. $$\boxed{E'(x) = -2x + 50, \quad \text{Punto crítico en } x = 25}$$

Analizamos el signo de la derivada en los intervalos definidos por el punto crítico $x=25$, teniendo en cuenta que el tiempo $x$ no puede ser negativo: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 25) & 25 & (25, +\infty) \\ \hline E'(x) & + & 0 & - \\ \hline E(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ - En el intervalo $(0, 25)$, si probamos con $x=10$: $E'(10) = -2(10) + 50 = 30 > 0$. La función **crece**. - En el intervalo $(25, +\infty)$, si probamos con $x=30$: $E'(30) = -2(30) + 50 = -10 < 0$. La función **decrece**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Crece en } (0, 25) \text{ meses y decrece a partir de los } 25 \text{ meses}}$$

**b) ¿En qué momento alcanza el producto su valor máximo y cuál es éste?** Como hemos visto en el apartado anterior, la función pasa de crecer a decrecer en $x = 25$. Por tanto, existe un **máximo relativo** en ese punto. El momento en el que se alcanza es a los **25 meses**. Para calcular el valor máximo, sustituimos $x = 25$ en la función original $E(x)$: $$E(25) = -(25 + 25)(25 - 75)$$ $$E(25) = -(50)(-50)$$ $$E(25) = 2500$$ 💡 **Tip:** Siempre sustituye en la función original $E(x)$ para hallar valores (euros), no en la derivada $E'(x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo a los 25 meses con un valor de 2500 euros}}$$

**c) Si se deja de comercializar cuando vale 475 euros, ¿en qué momento sucede esto?** Debemos encontrar el valor de $x$ para el cual $E(x) = 475$. Utilizamos la forma general de la función: $$-x^2 + 50x + 1875 = 475$$ Trasladamos todos los términos a un lado para obtener una ecuación de segundo grado: $$-x^2 + 50x + 1400 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para simplificar: $$x^2 - 50x - 1400 = 0$$ Aplicamos la fórmula cuadrática $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$: $$x = \frac{50 \pm \sqrt{(-50)^2 - 4(1)(-1400)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{50 \pm \sqrt{2500 + 5600}}{2}$$ $$x = \frac{50 \pm \sqrt{8100}}{2}$$ $$x = \frac{50 \pm 90}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $x_1 = \frac{50 + 90}{2} = \frac{140}{2} = 70$ 2. $x_2 = \frac{50 - 90}{2} = \frac{-40}{2} = -20$ Como el tiempo $x$ debe ser positivo, descartamos $x = -20$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sucede a los 70 meses}}$$