Distribución de personas por nivel de estudios

**a) ¿Cuál es el sistema de ecuaciones que permite calcular el número de personas del grupo por nivel de estudios?** Primero, definimos las variables que representarán las incógnitas del problema: - $x$: número de personas sin estudios. - $y$: número de personas con estudios primarios. - $z$: número de personas con estudios secundarios. Ahora, traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. El total de personas es 225: $$x + y + z = 225$$ 2. El número de personas sin estudios ($x$) es la quinta parte de los de estudios primarios ($y$): $$x = \frac{y}{5} \implies 5x - y = 0$$ 3. Por cada 5 personas con estudios primarios ($y$) hay 3 con secundarios ($z$). Esto es una proporción: $\frac{y}{5} = \frac{z}{3}$. Multiplicando en cruz: $$3y = 5z \implies 3y - 5z = 0$$ 💡 **Tip:** Al plantear proporciones del tipo "por cada A de tipo X hay B de tipo Y", la ecuación se escribe como $\frac{X}{A} = \frac{Y}{B}$. El sistema de ecuaciones resultante es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 225 \\ 5x - y = 0 \\ 3y - 5z = 0 \end{cases}}$$

**b) ¿Cuántas personas hay de cada nivel?** Para resolver el sistema, utilizaremos el método de sustitución, ya que es muy sencillo despejar las variables en función de $x$ a partir de la segunda y tercera ecuación. De la segunda ecuación: $$y = 5x$$ De la tercera ecuación, sustituimos el valor de $y$ que acabamos de encontrar: $$3(5x) - 5z = 0 \implies 15x = 5z \implies z = \frac{15x}{5} = 3x$$ Ahora tenemos $y$ y $z$ expresadas en función de $x$: - $y = 5x$ - $z = 3x$ Sustituimos ambas en la primera ecuación (la del total de personas): $$x + (5x) + (3x) = 225$$ $$9x = 225$$ 💡 **Tip:** El método de sustitución es ideal cuando las relaciones entre variables son proporciones directas o múltiplos sencillos.

Calculamos el valor de $x$ (personas sin estudios): $$x = \frac{225}{9} = 25$$ Ahora, calculamos los valores de $y$ (estudios primarios) y $z$ (estudios secundarios) sustituyendo el valor de $x$: Para $y$: $$y = 5 \cdot 25 = 125$$ Para $z$: $$z = 3 \cdot 25 = 75$$ Comprobamos que la suma sea correcta: $25 + 125 + 75 = 225$. Se cumple. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Sin estudios (x): 25, Primarios (y): 125, Secundarios (z): 75}}$$