Inferencia estadística: Intervalo de confianza y contraste de hipótesis

**a) Construir un intervalo de confianza, del 97%, para la media del alquiler de los pisos de dos habitaciones de esa gran ciudad.** Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 49$ - Media muestral: $\bar{x} = 425$ € - Desviación típica poblacional: $\sigma = 50$ € - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,97$ (es decir, el $97\%$) Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0,97$, entonces $\alpha = 0,03$. 2. Repartimos el riesgo en dos colas: $\alpha/2 = 0,015$. 3. Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor que deja por debajo una probabilidad de: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,015 = 0,985$$ Mirando en la tabla, el valor exacto para $0,9850$ corresponde a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,17}$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la media tiene la forma $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, donde $E$ es el error máximo admisible.

Calculamos el error máximo admisible ($E$) mediante la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2,17 \cdot \frac{50}{\sqrt{49}} = 2,17 \cdot \frac{50}{7} = 2,17 \cdot 7,1429 \approx 15,50$$ Ahora construimos el intervalo restando y sumando este error a la media muestral $\bar{x} = 425$: - Límite inferior: $425 - 15,50 = 409,50$ - Límite superior: $425 + 15,50 = 440,50$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{IC = (409,50, \; 440,50)}$$ Con una confianza del $97\%$, la media del alquiler se encuentra entre **409,50 € y 440,50 €**.

**b) ¿Se puede aceptar, con una significación del 2,5%, que la media del alquiler de los pisos de dos habitaciones de esa gran ciudad es, como máximo, igual a 415 euros?** Debemos realizar un contraste de hipótesis para la media $\mu$: - La hipótesis nula ($H_0$) es lo que queremos contrastar (que la media es como máximo 415). - La hipótesis alternativa ($H_1$) es la contraria. $$H_0: \mu \le 415$$ $$H_1: \mu \gt 415$$ Se trata de un **contraste unilateral derecho**. Datos para el contraste: - Nivel de significación: $\alpha = 0,025$ (es decir, $2,5\%$). - Valor bajo la hipótesis nula: $\mu_0 = 415$. 💡 **Tip:** En los contrastes, la hipótesis nula suele contener el signo de igualdad ($=, \le, \ge$).

Calculamos el estadístico de contraste $Z$ (o valor observado) usando los datos de nuestra muestra: $$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{425 - 415}{50 / \sqrt{49}} = \frac{10}{7,1429} \approx 1,4$$ Ahora buscamos el valor crítico $z_\alpha$ para un contraste unilateral derecho con $\alpha = 0,025$: Buscamos en la tabla $N(0,1)$ el valor tal que $P(Z \le z_\alpha) = 1 - 0,025 = 0,975$. En las tablas, observamos que para una probabilidad de $0,975$, el valor es: $$\boxed{z_\alpha = 1,96}$$ La **región de aceptación** para este contraste unilateral derecho es $(-\infty, 1,96]$ y la **región de rechazo** es $(1,96, +\infty)$.

Comparamos nuestro estadístico de contraste ($Z = 1,4$) con el valor crítico ($z_\alpha = 1,96$): Como $1,4 \lt 1,96$, el valor del estadístico **cae dentro de la región de aceptación** de la hipótesis nula. Por lo tanto, no hay evidencia estadística suficiente para rechazar $H_0$. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Sí, se puede aceptar que la media del alquiler es, como máximo, 415 euros.}}$$ 💡 **Tip:** Si el estadístico de contraste es menor que el valor crítico en un test de cola derecha, aceptamos la hipótesis nula.