Distribución Binomial y aproximación a la Normal

Estamos ante un experimento donde cada joven puede tener o no cuenta en una red social. Se trata de una **Distribución Binomial**, ya que tenemos: - Un número fijo de pruebas: $n = 80$. - Una probabilidad de éxito (tener cuenta) constante: $p = 0.65$. - Por tanto, la probabilidad de fracaso es: $q = 1 - p = 0.35$. Definimos la variable aleatoria $X$ como el "número de jóvenes con cuenta en una red social". $$X \sim B(80, 0.65)$$ **a) ¿Cuál es el número medio esperado de jóvenes con una cuenta en alguna red social de internet?** El número medio esperado en una distribución binomial se calcula con la fórmula de la esperanza: $$\mu = n \cdot p$$ $$\mu = 80 \cdot 0.65 = 52$$ 💡 **Tip:** El valor esperado o media en una binomial representa el resultado promedio que obtendríamos si repitiéramos el muestreo muchas veces. ✅ **Resultado (media):** $$\boxed{\mu = 52 \text{ jóvenes}}$$

Para los apartados b) y c), calcular probabilidades con una Binomial de $n=80$ sería muy laborioso. Comprobamos si podemos aproximar por una **Distribución Normal**: 1. $n \cdot p = 80 \cdot 0.65 = 52 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 80 \cdot 0.35 = 28 \gt 5$ Como ambos valores son mayores que 5, podemos realizar la aproximación $X \sim B(n, p) \approx X' \sim N(\mu, \sigma)$. Calculamos la desviación típica $\sigma$: $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{80 \cdot 0.65 \cdot 0.35} = \sqrt{18.2} \approx 4.266$$ Nuestra variable aproximada es: $$X' \sim N(52, 4.266)$$

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 60 jóvenes tengan una cuenta en alguna red social de internet?** Buscamos $P(X \gt 60)$. Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), aplicamos la **corrección de continuidad de Yates**. "Más de 60" significa empezar a contar desde el 61, por lo que tomamos el límite inferior de ese valor: $$P(X \gt 60) = P(X \ge 61) \approx P(X' \gt 60.5)$$ Ahora tipificamos la variable para usar la tabla $N(0,1)$ mediante $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$P\left(Z \gt \frac{60.5 - 52}{4.266}\right) = P(Z \gt \frac{8.5}{4.266}) = P(Z \gt 1.99)$$ Como la tabla solo nos da valores para $P(Z \le z)$, usamos el suceso contrario: $$P(Z \gt 1.99) = 1 - P(Z \le 1.99)$$ Buscamos en la tabla $1.9$ en la fila y $0.09$ en la columna: $$1 - 0.9767 = 0.0233$$ 💡 **Tip:** La corrección de continuidad evita errores al tratar un valor discreto como un intervalo en una curva continua. ✅ **Resultado b):** $$\boxed{P(X \gt 60) \approx 0.0233}$$

**c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de jóvenes que tienen una cuenta en alguna red social de internet esté entre 45 y 55?** Buscamos $P(45 \le X \le 55)$. Aplicamos de nuevo la corrección de continuidad para abarcar los rectángulos del 45 al 55 completos: $$P(44.5 \le X' \le 55.5)$$ Tipificamos ambos límites: $$P\left(\frac{44.5 - 52}{4.266} \le Z \le \frac{55.5 - 52}{4.266}\right)$$ $$P\left(\frac{-7.5}{4.266} \le Z \le \frac{3.5}{4.266}\right) = P(-1.76 \le Z \le 0.82)$$ Resolvemos la probabilidad del intervalo: $$P(Z \le 0.82) - P(Z \le -1.76)$$ Para el valor negativo, usamos la simetría de la normal $P(Z \le -a) = 1 - P(Z \le a)$: $$P(Z \le 0.82) - [1 - P(Z \le 1.76)]$$ Buscamos los valores en la tabla: - Para $0.82$: $0.7939$ - Para $1.76$: $0.9608$ $$0.7939 - (1 - 0.9608) = 0.7939 - 0.0392 = 0.7547$$ ✅ **Resultado c):** $$\boxed{P(45 \le X \le 55) \approx 0.7547}$$