Rendimiento de un plan de pensiones

**a) ¿Es continua esta función? ¿Es siempre creciente? Justificar la respuesta.** Para estudiar la continuidad, debemos analizar el punto de salto entre las ramas, que es $t=5$. Una función es continua en un punto si el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función coinciden. 1. **Valor de la función en $t=5$:** Usamos la primera rama (donde está el $\leq$): $$r(5) = \frac{5^2}{5} = \frac{25}{5} = 5$$ 2. **Límite por la izquierda ($t \to 5^-$):** $$\lim_{t \to 5^-} r(t) = \lim_{t \to 5} \frac{t^2}{5} = \frac{25}{5} = 5$$ 3. **Límite por la derecha ($t \to 5^+$):** $$\lim_{t \to 5^+} r(t) = \lim_{t \to 5} \frac{10t}{t+5} = \frac{10 \cdot 5}{5+5} = \frac{50}{10} = 5$$ Como $\lim_{t \to 5^-} r(t) = \lim_{t \to 5^+} r(t) = r(5) = 5$, la función es **continua** en $t=5$. Como cada rama por separado es continua en su dominio (la primera es un polinomio y la segunda es racional con denominador $t+5 \neq 0$ para $t > 5$): ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es continua en todo su dominio } [0, +\infty)}$$

Para ver si es siempre creciente, calculamos la derivada $r'(t)$ en cada rama: - **Para $0 \lt t \lt 5$:** $$r'(t) = \frac{2t}{5}$$ En este intervalo ($t > 0$), $r'(t) > 0$, luego la función es **creciente**. - **Para $t \gt 5$:** Usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$r'(t) = \frac{10(t+5) - 10t(1)}{(t+5)^2} = \frac{10t + 50 - 10t}{(t+5)^2} = \frac{50}{(t+5)^2}$$ Como el numerador es 50 (positivo) y el denominador está al cuadrado (positivo), $r'(t) > 0$ para todo $t > 5$. La función también es **creciente** en este tramo. 💡 **Tip:** Si una función es continua y crece en todos sus tramos sin saltos hacia abajo, es creciente en todo su dominio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, la función es siempre creciente en } (0, +\infty)}$$

**b) ¿Cuándo el rendimiento es del 8%? Justificar la respuesta.** Debemos resolver la ecuación $r(t) = 8$. Probamos en cada rama: 1. **Rama 1 ($0 \leq t \leq 5$):** $$\frac{t^2}{5} = 8 \implies t^2 = 40 \implies t = \sqrt{40} \approx 6.32$$ Como $6.32$ no está en el intervalo $[0, 5]$, esta solución **no es válida** para esta rama. 2. **Rama 2 ($t > 5$):** $$\frac{10t}{t+5} = 8 \implies 10t = 8(t+5) \implies 10t = 8t + 40$$ $$2t = 40 \implies t = 20$$ Como $20 > 5$, esta solución **es válida**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El rendimiento será del 8\% a los 20 años}}$$

**c) ¿Qué pasa cuando el tiempo crece indefinidamente? Justificar la respuesta.** Calculamos el límite de la función cuando $t \to +\infty$. Para valores grandes de $t$, utilizamos la segunda rama: $$\lim_{t \to +\infty} r(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{10t}{t+5}$$ Como es un límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado, el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{10t}{t+5} = \frac{10}{1} = 10$$ Esto significa que la función tiene una **asíntota horizontal** en $y=10$. 💡 **Tip:** Cuando el grado del numerador y denominador es igual, el límite es el cociente de los números que acompañan a la mayor potencia de $t$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Cuando el tiempo crece indefinidamente, el rendimiento tiende a estabilizarse en el 10\%}}$$