Optimización de la producción de monitores

**a) Plantear un problema para determinar el número de monitores de ambos tipos que hay que fabricar semanalmente para maximizar los beneficios globales de la empresa. Representar la región factible.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de monitores de **20 pulgadas** fabricados semanalmente. - $y$: número de monitores de **24 pulgadas** fabricados semanalmente. La función que queremos maximizar es el beneficio total, que llamaremos $B(x, y)$. Según el enunciado: - Cada monitor de 20 pulgadas aporta $95\,€$. - Cada monitor de 24 pulgadas aporta $125\,€$. Por tanto, la **función objetivo** es: $$\boxed{f(x, y) = 95x + 125y}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en programación lineal, la función objetivo siempre representa aquello que queremos maximizar (beneficios, ingresos) o minimizar (costes, tiempo).

A continuación, traducimos las condiciones del enunciado en desigualdades matemáticas (restricciones): 1. **Capacidad total de fabricación:** La suma de ambos tipos no puede superar los 324. $$x + y \le 324$$ 2. **Relación mínima entre modelos:** El número de monitores de 20 pulgadas ($x$) debe ser, al menos, el doble de los de 24 pulgadas ($y$). $$x \ge 2y \implies x - 2y \ge 0$$ 3. **Relación máxima entre modelos:** El número de monitores de 20 pulgadas ($x$) debe ser, como máximo, el triple de los de 24 pulgadas ($y$). $$x \le 3y \implies x - 3y \le 0$$ 4. **No negatividad:** No se pueden fabricar cantidades negativas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** Para trabajar con rectas en el plano, suele ser más cómodo pasar todas las variables a un lado de la desigualdad, dejando el término independiente al otro.

Para representar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones y determinamos el semiplano que cumple cada una: - $r_1: x + y = 324$. Pasa por $(324, 0)$ y $(0, 324)$. - $r_2: x = 2y$. Pasa por $(0, 0)$ y $(200, 100)$. - $r_3: x = 3y$. Pasa por $(0, 0)$ y $(210, 70)$. La intersección de estos semiplanos genera un recinto cerrado (un triángulo) cuyos vértices determinaremos en el siguiente paso.

Los vértices son los puntos de corte de las rectas que delimitan la región: - **Vértice A:** Intersección de $x=2y$ y $x=3y$. $$\begin{cases} x = 2y \\ x = 3y \end{cases} \implies 2y = 3y \implies y = 0, x = 0 \implies \mathbf{A(0, 0)}$$ - **Vértice B:** Intersección de $x+y=324$ y $x=3y$. Sustituimos $x$ en la primera ecuación: $$3y + y = 324 \implies 4y = 324 \implies y = 81$$ $$x = 3(81) = 243 \implies \mathbf{B(243, 81)}$$ - **Vértice C:** Intersección de $x+y=324$ y $x=2y$. Sustituimos $x$ en la primera ecuación: $$2y + y = 324 \implies 3y = 324 \implies y = 108$$ $$x = 2(108) = 216 \implies \mathbf{C(216, 108)}$$ 💡 **Tip:** Siempre es buena idea verificar que los puntos obtenidos cumplen todas las demás restricciones para asegurar que pertenecen a la región factible. $$\boxed{A(0,0), \quad B(243, 81), \quad C(216, 108)}$$

**b) ¿Qué producción semanal hace máximos los beneficios? ¿Cuál es el beneficio semanal máximo?** Evaluamos la función $f(x, y) = 95x + 125y$ en cada uno de los vértices de la región factible para encontrar el máximo valor: - En **A(0, 0)**: $$f(0, 0) = 95(0) + 125(0) = 0\,€$$ - En **B(243, 81)**: $$f(243, 81) = 95(243) + 125(81) = 23085 + 10125 = 33210\,€$$ - En **C(216, 108)**: $$f(216, 108) = 95(216) + 125(108) = 20520 + 13500 = 34020\,€$$ Comparando los valores, el beneficio máximo es de $34020\,€$. 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal con regiones factibles acotadas y convexas, el máximo y el mínimo siempre se encuentran en los vértices del recinto (Teorema Fundamental de la Programación Linear). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se deben fabricar 216 monitores de 20'' y 108 monitores de 24'' para un beneficio máximo de 34020 €}}$$