Contraste de hipótesis para la media de horas de televisión

**a) Con una significación del 10%, ¿se acepta que la media de horas semanales que ven la televisión los niños de primaria sigue siendo 17 horas o, por el contrario, hay evidencias de que ha aumentado?** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para el primer caso: - Media poblacional bajo estudio (hipótesis nula): $\mu_0 = 17$ horas. - Tamaño de la muestra: $n = 30$. - Media muestral: $\bar{x} = 17.8$ horas. - Desviación típica (muestral, tomada como poblacional): $s = 2.8$ horas. - Nivel de significación: $\alpha = 0.10$ (lo que implica un nivel de confianza del $90\%$). Planteamos las hipótesis del contraste. Como nos preguntan si hay evidencias de que la media **ha aumentado**, estamos ante un **contraste unilateral a la derecha**: - Hipótesis nula ($H_0$): $\mu = 17$ (La media no ha cambiado). - Hipótesis alternativa ($H_1$): $\mu \gt 17$ (La media ha aumentado). 💡 **Tip:** En los contrastes de hipótesis, la hipótesis nula ($H_0$) siempre contiene la igualdad, mientras que la alternativa ($H_1$) refleja lo que queremos probar (aumento, disminución o diferencia).

Calculamos el valor del estadístico de contraste utilizando la fórmula para la media con desviación típica conocida (o muestra suficientemente grande): $$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$Z_{obs} = \frac{17.8 - 17}{2.8 / \sqrt{30}}$$ $$Z_{obs} = \frac{0.8}{2.8 / 5.4772} = \frac{0.8}{0.5112} \approx 1.565$$ 💡 **Tip:** El estadístico de contraste mide a cuántas desviaciones típicas se encuentra nuestra media muestral de la media teórica de la hipótesis nula.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.10$ en un contraste unilateral derecho, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \gt z_{\alpha}) = 0.10$. Esto equivale a buscar en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor que deja por debajo una probabilidad de $1 - \alpha = 0.90$: $$P(Z \le z_{0.10}) = 0.90 \implies z_{0.10} = 1.282$$ La **región de aceptación** será el intervalo $(-\infty, 1.282]$ y la **región crítica** (de rechazo) será $(1.282, +\infty)$. Visualmente, el contraste se comporta así:

Comparamos el estadístico observado con el valor crítico: $$Z_{obs} = 1.565 \gt z_{0.10} = 1.282$$ Como el valor observado cae dentro de la **región crítica**, rechazamos la hipótesis nula $H_0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Hay evidencias suficientes para afirmar que el consumo de televisión ha aumentado.}}$$

**b) Si la misma información se hubiese obtenido de una muestra de 15 niños, con una significación del 10%, ¿se acepta que la media de horas semanales que ven la televisión los niños de primaria es 17 horas o por el contrario hay evidencias de que ha aumentado?** Mantenemos las mismas hipótesis y datos, pero cambiamos el tamaño de la muestra: - $n = 15$. - $H_0: \mu = 17$. - $H_1: \mu \gt 17$. - $\alpha = 0.10 \implies z_{crit} = 1.282$. Calculamos el nuevo estadístico de contraste: $$Z_{obs} = \frac{17.8 - 17}{2.8 / \sqrt{15}}$$ $$Z_{obs} = \frac{0.8}{2.8 / 3.8730} = \frac{0.8}{0.7229} \approx 1.107$$ 💡 **Tip:** Al reducir el tamaño de la muestra, el denominador (error estándar) aumenta, lo que hace que el estadístico $Z$ sea más pequeño y sea más difícil rechazar $H_0$.

Comparamos el nuevo estadístico con el valor crítico: $$Z_{obs} = 1.107 \lt z_{0.10} = 1.282$$ En este caso, el valor observado **cae dentro de la región de aceptación**. No hay pruebas suficientes para rechazar la hipótesis nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se acepta que la media sigue siendo 17 horas; no hay evidencias de aumento con esta muestra.}}$$