Distribución Normal: Media muestral y suma de variables

**a) Si hay citados 5 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio sea más de 8 minutos?** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como el tiempo de atención a un paciente: $$X \sim N(10, 3)$$ Donde la media es $\mu = 10$ y la desviación típica es $\sigma = 3$. Cuando tomamos una muestra de $n = 5$ pacientes, la distribución de la **media muestral** ($\bar{X}$) también es una normal, pero con una desviación típica menor: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ $$\bar{X} \sim N\left(10, \frac{3}{\sqrt{5}}\right) \approx N(10, 1.342)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la media de la muestra se reparte de forma más estrecha que la población original; su desviación típica (llamada error típico) es siempre $\sigma/\sqrt{n}$.

Queremos calcular $P(\bar{X} \gt 8)$. Para ello, tipificamos la variable a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}}$: $$P(\bar{X} \gt 8) = P\left(Z \gt \frac{8 - 10}{1.342}\right) = P(Z \gt -1.49)$$ Por simetría de la campana de Gauss, la probabilidad de que $Z$ sea mayor que un valor negativo es igual a la probabilidad de que sea menor que ese mismo valor en positivo: $$P(Z \gt -1.49) = P(Z \le 1.49)$$ Buscamos el valor $1.49$ en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$: $$P(Z \le 1.49) = 0.9319$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 8) = 0.9319}$$

**b) Si hay citados 8 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que sean atendidos en menos de 72 minutos?** Sea $T$ el tiempo total de atención para $n = 8$ pacientes. El tiempo total es la suma de los tiempos individuales: $T = X_1 + X_2 + \dots + X_8$. La distribución de la suma de variables normales independientes $N(\mu, \sigma)$ sigue una normal con: - Media: $\mu_T = n \cdot \mu = 8 \cdot 10 = 80$ minutos. - Desviación típica: $\sigma_T = \sqrt{n} \cdot \sigma = \sqrt{8} \cdot 3 \approx 2.828 \cdot 3 = 8.485$ minutos. Por tanto: $T \sim N(80, 8.485)$. 💡 **Tip:** Si prefieres trabajar con la media muestral, la condición "tiempo total < 72" equivale a "tiempo medio < 9" (ya que $72/8 = 9$). El resultado será el mismo.

Calculamos $P(T \lt 72)$ tipificando la variable: $$P(T \lt 72) = P\left(Z \lt \frac{72 - 80}{8.485}\right) = P(Z \lt -0.94)$$ Como la tabla solo ofrece valores positivos, aplicamos la propiedad del complementario: $$P(Z \lt -0.94) = 1 - P(Z \le 0.94)$$ Buscamos $0.94$ en la tabla: $$1 - 0.8264 = 0.1736$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T \lt 72) = 0.1736}$$

**c) Si hay citados 300 pacientes, ¿cuál es la estimación del número de pacientes cuya consulta durará más de 12 minutos?** Primero, calculamos la probabilidad de que **un solo paciente** tarde más de 12 minutos usando la distribución original $X \sim N(10, 3)$: $$P(X \gt 12) = P\left(Z \gt \frac{12 - 10}{3}\right) = P(Z \gt 0.67)$$ Por la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 0.67) = 1 - P(Z \le 0.67)$$ Mirando en la tabla para $0.67$: $$1 - 0.7486 = 0.2514$$ Es decir, aproximadamente el $25.14\%$ de los pacientes tardan más de 12 minutos.

Para estimar el número de pacientes entre un total de $N = 300$, multiplicamos el número total por la probabilidad obtenida: $$\text{Número estimado} = N \cdot P(X \gt 12)$$ $$\text{Número estimado} = 300 \cdot 0.2514 = 75.42$$ Redondeando al número entero más cercano, estimamos que unos $75$ pacientes superarán ese tiempo. 💡 **Tip:** Este cálculo es el valor esperado o esperanza matemática ($E = n \cdot p$) de una distribución binomial $B(300, 0.2514)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Aprox. 75 pacientes}}$$