Producción de energía de aerogeneradores

**a) ¿En qué momento ha sido máxima la producción total?** Primero, definimos la función de producción total $P(x)$ como la suma de las producciones de los dos aerogeneradores: $$P(x) = f(x) + g(x)$$ $$P(x) = (-x^2 + 20x + 80) + (-x^2 + 30x + 50)$$ $$P(x) = -2x^2 + 50x + 130, \quad 0 \leq x \leq 15$$ Para hallar el máximo, calculamos la primera derivada: $$P'(x) = -4x + 50$$ 💡 **Tip:** El máximo de una función continua en un intervalo cerrado suele encontrarse donde la derivada es cero o en los extremos del intervalo.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$-4x + 50 = 0 \implies 4x = 50 \implies x = \frac{50}{4} = 12.5$$ Comprobamos si es un máximo mediante el signo de la primera derivada o la segunda derivada. Usamos la segunda derivada: $$P''(x) = -4$$ Como $P''(12.5) = -4 \lt 0$, confirmamos que en $x = 12.5$ hay un **máximo relativo**. **Tabla de monotonía de $P(x)$:** $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 12.5) & 12.5 & (12.5, 15) \\ \hline P'(x) & + & 0 & - \\ P(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ Al ser una parábola cóncava hacia abajo, el máximo relativo es el absoluto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La producción total fue máxima a las } 12.5 \text{ horas}}$$

**b) ¿En qué momento han producido la misma cantidad de energía los dos aerogeneradores?** Para que la producción sea la misma, debemos igualar ambas funciones: $$f(x) = g(x)$$ $$-x^2 + 20x + 80 = -x^2 + 30x + 50$$ Simplificamos eliminando el término $-x^2$ en ambos lados: $$20x + 80 = 30x + 50$$ Agrupamos los términos con $x$: $$80 - 50 = 30x - 20x$$ $$30 = 10x \implies x = \frac{30}{10} = 3$$ Como $x=3$ se encuentra dentro del intervalo del dominio $[0, 15]$, la solución es válida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Produjeron la misma energía a las } 3 \text{ horas}}$$

**c) ¿En qué momento ha sido mínima la producción de este tercer aerogenerador?** Dada la función $h(x) = x^3 - 21x^2 + 72x + 60$ en el intervalo $[0, 15]$, buscamos sus puntos críticos derivando: $$h'(x) = 3x^2 - 42x + 72$$ Igualamos a cero para resolver la ecuación de segundo grado: $$3x^2 - 42x + 72 = 0$$ Dividimos todo entre 3 para simplificar: $$x^2 - 14x + 24 = 0$$ Aplicamos la fórmula general: $$x = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 96}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{100}}{2}$$ $$x = \frac{14 \pm 10}{2} \implies x_1 = 12, \quad x_2 = 2$$ Ambos valores pertenecen al intervalo $[0, 15]$.

Analizamos el signo de $h'(x)$ para determinar el comportamiento de la función: $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (0, 2) & 2 & (2, 12) & 12 & (12, 15) \\ \hline h'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ h(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array} $$ Observamos un mínimo relativo en $x = 12$. Para asegurar que es el mínimo absoluto en el intervalo $[0, 15]$, evaluamos la función en los extremos y en el punto crítico: - $h(0) = 0^3 - 21(0)^2 + 72(0) + 60 = 60$ - $h(12) = 12^3 - 21(12^2) + 72(12) + 60 = 1728 - 3024 + 864 + 60 = -372$ - $h(15) = 15^3 - 21(15^2) + 72(15) + 60 = 3375 - 4725 + 1080 + 60 = -210$ Comparando los valores: $-372 \lt -210 \lt 60$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La producción fue mínima a las } 12 \text{ horas}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "h", "latex": "h(x) = x^3 - 21x^2 + 72x + 60 \\{0 \\le x \\le 15\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "min", "latex": "(12, -372)", "showLabel": true, "color": "#ef4444" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 16, "bottom": -450, "top": 200 } } }