Sistema de ecuaciones: Problema de la carga del camión

**a) ¿Cuántas cajas de cada tipo trae el camión?** En primer lugar, definimos las variables para representar el número de cajas de cada tipo: - $x$: número de cajas del tipo A. - $y$: número de cajas del tipo B. - $z$: número de cajas del tipo C. Traducimos el enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. "En total hay 120 cajas": $$x + y + z = 120$$ 2. "Las del tipo A eran tantas como las del tipo B y C juntas": $$x = y + z$$ 3. "Las del tipo C eran la cuarta parte de las del tipo B": $$z = \frac{y}{4}$$ 💡 **Tip:** Siempre es útil identificar claramente qué representa cada variable antes de escribir las ecuaciones para no confundirse durante la resolución.

Para resolver el sistema, utilizaremos el método de sustitución, que es muy directo en este caso. El sistema es: $$\begin{cases} x + y + z = 120 \\ x = y + z \\ z = \dfrac{y}{4} \end{cases}$$ Sustituimos la segunda ecuación ($x = y + z$) en la primera: $$(y + z) + y + z = 120 \implies 2y + 2z = 120$$ Dividiendo toda la ecuación entre 2 para simplificar: $$y + z = 60$$ Como ya sabemos por la segunda ecuación que $x = y + z$, automáticamente obtenemos el valor de $x$: $$x = 60$$ 💡 **Tip:** Si ves que una parte de una ecuación coincide exactamente con un término de otra, sustituye el bloque entero para ganar rapidez.

Ahora usamos la ecuación simplificada $y + z = 60$ y la tercera ecuación original $z = \frac{y}{4}$ para hallar las incógnitas restantes. Sustituimos $z$ en la ecuación: $$y + \frac{y}{4} = 60$$ Para eliminar el denominador, multiplicamos toda la ecuación por 4: $$4y + y = 240 \implies 5y = 240$$ Despejamos $y$: $$y = \frac{240}{5} = 48$$ Finalmente, calculamos $z$ sustituyendo el valor de $y$: $$z = \frac{48}{4} = 12$$ Comprobamos que la suma total sea correcta: $60 + 48 + 12 = 120$. ¡Es correcto! ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\text{Tipo A: 60 cajas, Tipo B: 48 cajas, Tipo C: 12 cajas}}$$

**b) Otro operario dice que del tipo A eran 12 más que del tipo B. Comprobar si esta información se contradice con la del primer operario.** Para verificar si la afirmación es cierta o contradictoria, debemos comprobar si los valores obtenidos en el apartado anterior cumplen la nueva condición. La afirmación del segundo operario se traduce como: $$x = y + 12$$ Sustituimos los valores hallados ($x = 60$ y $y = 48$): $$60 = 48 + 12$$ $$60 = 60$$ Como la igualdad se cumple, la información del segundo operario es coherente con los datos del primero. 💡 **Tip:** En matemáticas, una información se contradice si al sustituir los valores obtenidos se llega a una falsedad (como $60 = 70$). Si la igualdad se mantiene, los datos son compatibles. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{No se contradice, ya que } 60 = 48 + 12}$$