Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes: Alergias

**a) Hacer el árbol de probabilidades.** Primero definimos los sucesos principales basados en el tipo de alergia y el género: - $A$: Alergia a los animales. - $P$: Alergia a las plantas. - $C$: Alergia a las comidas. - $H$: Ser hombre. - $M$: Ser mujer. Datos del enunciado expresados en probabilidad: $P(A) = 0.40; \quad P(P) = 0.45; \quad P(C) = 0.15$ $P(H|A) = 0.40 \implies P(M|A) = 0.60$ $P(H|P) = 0.50 \implies P(M|P) = 0.50$ $P(H|C) = 0.35 \implies P(M|C) = 0.65$ Representamos estos datos en un árbol de probabilidades: 💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la suma de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser $1$.

**b) Calcular la proporción de hombres en los alérgicos.** Para calcular la probabilidad total de ser hombre $P(H)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este teorema nos dice que debemos sumar las probabilidades de ser hombre en cada uno de los grupos de alérgicos: $$P(H) = P(A) \cdot P(H|A) + P(P) \cdot P(H|P) + P(C) \cdot P(H|C)$$ Sustituimos los valores obtenidos del enunciado o del árbol: $$P(H) = (0.40 \cdot 0.40) + (0.45 \cdot 0.50) + (0.15 \cdot 0.35)$$ $$P(H) = 0.16 + 0.225 + 0.0525$$ $$P(H) = 0.4375$$ 💡 **Tip:** El resultado $0.4375$ indica que el $43.75\%$ de las personas alérgicas son hombres. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H) = 0.4375}$$

**c) Se elije una mujer alérgica. ¿Cuál es la probabilidad de que lo sea a las plantas?** Nos piden una probabilidad condicionada: la probabilidad de tener alergia a las plantas ($P$) sabiendo que la persona elegida es mujer ($M$). Usamos el **Teorema de Bayes**: $$P(P|M) = \frac{P(P \cap M)}{P(M)}$$ Primero, calculamos $P(M)$. Como solo hay hombres y mujeres en el grupo de alérgicos: $$P(M) = 1 - P(H) = 1 - 0.4375 = 0.5625$$ Ahora, calculamos la probabilidad de la intersección $P(P \cap M)$, que es la probabilidad de ser alérgico a las plantas y ser mujer: $$P(P \cap M) = P(P) \cdot P(M|P) = 0.45 \cdot 0.50 = 0.225$$ Finalmente, calculamos el cociente: $$P(P|M) = \frac{0.225}{0.5625} = 0.4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ es la probabilidad de que ocurra $A$ dado que ya sabemos que ha ocurrido $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P|M) = 0.4}$$