Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Con un nivel de confianza del 95%, ¿cuál es el intervalo de confianza para la media de ingresos de los trabajadores de ese sector?** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra de trabajadores: - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Media muestral: $\bar{x} = 920€$ - Desviación típica poblacional (asumida de la muestra): $\sigma = 140€$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ Como el tamaño de la muestra es grande ($n \ge 30$), podemos utilizar la aproximación a la distribución normal para el cálculo del intervalo de confianza para la media. 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la media se calcula como: $I.C. = \left(\bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$.

Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$ 2. Dividimos el error entre dos: $\alpha/2 = 0.025$ 3. Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - \alpha/2$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.9750$$ Consultando la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$, observamos que para una probabilidad de $0.9750$, el valor es: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son: para el $90\% \to 1.645$, para el $95\% \to 1.96$ y para el $99\% \to 2.575$.

Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{140}{\sqrt{100}} = 1.96 \cdot \frac{140}{10} = 1.96 \cdot 14 = 27.44€$$ Ahora, construimos el intervalo restando y sumando este error a la media muestral: - Límite inferior: $920 - 27.44 = 892.56€$ - Límite superior: $920 + 27.44 = 947.44€$ El intervalo de confianza al $95\%$ es: $$\boxed{(892.56, 947.44)}$$

**b) ¿Cuál es el tamaño de la muestra necesario para estimar la media de ingresos mensuales con un error menor de 20€, con una confianza del 97%?** En este apartado, cambian las condiciones: - Error máximo: $E \lt 20€$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03$ 2. $\alpha/2 = 0.015$ 3. $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.9850$ Buscamos en la tabla $N(0,1)$ el valor de $0.9850$, que corresponde exactamente a: $$z_{\alpha/2} = 2.17$$

Para hallar el tamaño de la muestra $n$, despejamos de la fórmula del error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores conocidos: $$n = \left( \frac{2.17 \cdot 140}{20} \right)^2$$ $$n = (2.17 \cdot 7)^2 = (15.19)^2 = 230.7361$$ Como buscamos un error **menor** de $20€$, necesitamos aumentar el tamaño de la muestra. Por tanto, siempre debemos redondear el resultado al siguiente número entero superior. 💡 **Tip:** Al calcular el tamaño muestral $n$, si el resultado no es exacto, siempre se redondea hacia arriba para garantizar que el error sea menor o igual al pedido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 231 \text{ trabajadores}}$$