Estudio de la hinchazón por picadura de insecto

**a) ¿Qué altura tiene la hinchazón a los 2 días?** Para calcular la altura a los 2 días, simplemente debemos evaluar la función $h(t)$ en el valor $t=2$, ya que $t$ representa el número de días transcurridos. Sustituimos $t=2$ en la expresión de la función: $$h(2) = \frac{2}{10}(20 - 2 \cdot 2)$$ Operamos dentro del paréntesis y simplificamos la fracción: $$h(2) = 0,2 \cdot (20 - 4) = 0,2 \cdot 16$$ $$h(2) = 3,2 \text{ mm}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que evaluar una función consiste en sustituir la variable independiente (en este caso $t$) por el valor indicado y realizar las operaciones siguiendo la jerarquía. ✅ **Resultado:** $$\boxed{3,2 \text{ mm}}$$

**b) ¿Cuánto dura el periodo de hinchazón, desde que pica el insecto hasta que desaparece la hinchazón?** La hinchazón desaparece cuando la altura es igual a cero, es decir, cuando $h(t) = 0$. Debemos resolver esta ecuación para encontrar los valores de $t$: $$\frac{t}{10}(20 - 2t) = 0$$ Para que un producto de factores sea cero, al menos uno de los factores debe ser cero: 1. $\frac{t}{10} = 0 \implies t = 0$ (momento inicial de la picadura). 2. $20 - 2t = 0 \implies 20 = 2t \implies t = \frac{20}{2} = 10$. Esto significa que la hinchazón comienza en $t=0$ y se anula de nuevo en $t=10$. El periodo de duración es la diferencia entre el final y el inicio: $$\text{Duración} = 10 - 0 = 10 \text{ días}$$ 💡 **Tip:** En problemas de contexto real, los puntos de corte con el eje horizontal ($h(t)=0$) suelen representar el inicio y el fin del fenómeno estudiado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{10 \text{ días}}$$

**c) ¿Cuál es la altura máxima de la hinchazón?** Para hallar el máximo de la función, primero vamos a expresar $h(t)$ de forma polinómica para que sea más fácil derivar: $$h(t) = \frac{20t - 2t^2}{10} = 2t - 0,2t^2$$ Calculamos la primera derivada $h'(t)$ e igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$h'(t) = 2 - 0,4t$$ $$2 - 0,4t = 0 \implies 2 = 0,4t \implies t = \frac{2}{0,4} = 5 \text{ días}$$ Para confirmar que es un máximo, analizamos el signo de la derivada en los intervalos alrededor de $t=5$: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0,5) & 5 & (5,10)\\ \hline h'(t) & + & 0 & - \end{array}$$ - En $(0,5)$, $h'(1) = 2 - 0,4 = 1,6 \gt 0$, la función crece. - En $(5,10)$, $h'(6) = 2 - 2,4 = -0,4 \lt 0$, la función decrece. Al subir y luego bajar, existe un **máximo relativo** en $t=5$. Finalmente, calculamos la altura en ese instante: $$h(5) = 2(5) - 0,2(5)^2 = 10 - 0,2(25) = 10 - 5 = 5 \text{ mm}$$ 💡 **Tip:** El máximo de una parábola abierta hacia abajo ($a \lt 0$) siempre se encuentra en su vértice, que coincide con el punto donde la derivada es cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{5 \text{ mm}}$$