Optimización de costes en mezcla de sustancias químicas

**a) Plantear un problema para determinar las cantidades de A y B que se deben comprar para minimizar los costos globales.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema, que representan las cantidades que queremos calcular: - $x$: número de kilos de la sustancia A. - $y$: número de kilos de la sustancia B. El objetivo es minimizar los costos totales. Dado que el kilo de A cuesta 10 € y el de B cuesta 4 €, la función de coste (función objetivo) será: $$f(x, y) = 10x + 4y$$ 💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, siempre identifica primero qué magnitudes puedes variar (variables) y qué quieres conseguir (maximizar o minimizar).

A continuación, traducimos las condiciones del enunciado en desigualdades matemáticas (restricciones): 1. **Primer elemento (mínimo 24 g):** Cada kilo de A aporta 8 g y cada kilo de B aporta 4 g. $$8x + 4y \ge 24 \implies 2x + y \ge 6$$ 2. **Segundo elemento (máximo 10 g):** Cada kilo de A aporta 1 g y cada kilo de B aporta 1 g. $$1x + 1y \le 10 \implies x + y \le 10$$ 3. **Relación entre sustancias:** La cantidad de B debe ser como mucho el cuádruple de la de A. $$y \le 4x$$ 4. **No negatividad:** Las cantidades de sustancias no pueden ser negativas. $$x \ge 0, y \ge 0$$ El problema queda planteado como: $$\text{Minimizar } f(x, y) = 10x + 4y$$ Sujeto a: $$\begin{cases} 2x + y \ge 6 \\ x + y \le 10 \\ y \le 4x \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$$ $$\boxed{\text{Problema planteado en el sistema de inecuaciones anterior}}$$

**b) Dibujar la región factible y encontrar una solución óptima para el problema anterior.** Para dibujar la región factible, representamos las rectas asociadas a cada restricción y determinamos el semiplano que cumple la desigualdad: - $r_1: 2x + y = 6$. Pasa por $(0, 6)$ y $(3, 0)$. Tomamos la región superior. - $r_2: x + y = 10$. Pasa por $(0, 10)$ y $(10, 0)$. Tomamos la región inferior. - $r_3: y = 4x$. Pasa por $(0, 0)$ y $(2, 8)$. Tomamos la región a la derecha/abajo de la recta. La intersección de todos estos semiplanos en el primer cuadrante define nuestra región factible.

Los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan: 1. **Vértice $V_1$** ($r_1 \cap r_3$): $$\begin{cases} 2x + y = 6 \\ y = 4x \end{cases} \implies 2x + 4x = 6 \implies 6x = 6 \implies x=1, y=4 \implies V_1(1, 4)$$ 2. **Vértice $V_2$** ($r_2 \cap r_3$): $$\begin{cases} x + y = 10 \\ y = 4x \end{cases} \implies x + 4x = 10 \implies 5x = 10 \implies x=2, y=8 \implies V_2(2, 8)$$ 3. **Vértice $V_3$** ($r_2 \cap$ eje $OX$): $$\begin{cases} x + y = 10 \\ y = 0 \end{cases} \implies x = 10 \implies V_3(10, 0)$$ 4. **Vértice $V_4$** ($r_1 \cap$ eje $OX$): $$\begin{cases} 2x + y = 6 \\ y = 0 \end{cases} \implies 2x = 6 \implies x = 3 \implies V_4(3, 0)$$ 💡 **Tip:** Los vértices son los puntos "esquina" de la región sombreada y son los candidatos a ser la solución óptima.

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 10x + 4y$ en cada uno de los vértices hallados para encontrar el valor mínimo: - $f(1, 4) = 10(1) + 4(4) = 10 + 16 = \mathbf{26 \text{ €}}$ - $f(2, 8) = 10(2) + 4(8) = 20 + 32 = 52 \text{ €}$ - $f(10, 0) = 10(10) + 4(0) = 100 \text{ €}$ - $f(3, 0) = 10(3) + 4(0) = 30 \text{ €}$ El coste mínimo es de 26 euros y se produce cuando compramos 1 kilo de la sustancia A y 4 kilos de la sustancia B. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo coste de 26 € con 1 kg de A y 4 kg de B}}$$