Programación lineal: Maximización de ingresos en joyería

Lo primero que debemos hacer en un problema de programación lineal es identificar qué queremos averiguar. En este caso, nos preguntan por la cantidad de anillos de cada tipo. Definimos las variables: - $x$: número de anillos del **primer tipo**. - $y$: número de anillos del **segundo tipo**. El objetivo es maximizar los ingresos por ventas. Como el primer tipo se vende a $150$ € y el segundo a $100$ €, la **función objetivo** será: $$f(x, y) = 150x + 100y$$ 💡 **Tip:** Lee siempre el final de la pregunta para identificar las incógnitas; suele decir "¿cuántos...?" o "¿qué cantidad...?".

Traducimos las limitaciones de material (oro y plata) a inecuaciones. El fabricante no puede usar más material del que dispone. **1. Restricción de oro:** Cada anillo tipo $x$ usa $4$ g y cada tipo $y$ usa $3$ g. Disponemos de $48$ g. $$4x + 3y \le 48$$ **2. Restricción de plata:** Cada anillo tipo $x$ usa $2$ g y cada tipo $y$ usa $1$ g. Disponemos de $20$ g. $$2x + y \le 20$$ **3. Restricciones de no negatividad:** No se pueden fabricar cantidades negativas de anillos. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** Las frases "dispone de", "como máximo" o "no más de" indican siempre el símbolo $\le$.

Para hallar la solución, representamos las rectas asociadas a las restricciones y buscamos la región del plano que cumple todas las inecuaciones a la vez (región factible). - Recta $r_1$ (oro): $4x + 3y = 48$. Pasa por $(0, 16)$ y $(12, 0)$. - Recta $r_2$ (plata): $2x + y = 20$. Pasa por $(0, 20)$ y $(10, 0)$. Al ser restricciones de tipo $\le$, la región factible es el polígono cerrado que queda por debajo de ambas rectas en el primer cuadrante.

Los vértices son los puntos de corte de las rectas que limitan la región: 1. **Origen:** $A(0, 0)$. 2. **Corte de $r_2$ con eje X:** Si $y=0$ en $2x + y = 20 \implies x=10$. Punto $B(10, 0)$. 3. **Corte de $r_1$ con eje Y:** Si $x=0$ en $4x + 3y = 48 \implies y=16$. Punto $D(0, 16)$. 4. **Intersección de $r_1$ y $r_2$:** Resolvemos el sistema por sustitución: De $r_2$ despejamos: $y = 20 - 2x$. Sustituimos en $r_1$: $$4x + 3(20 - 2x) = 48$$ $$4x + 60 - 6x = 48$$ $$-2x = 48 - 60 \implies -2x = -12 \implies x = 6$$ Calculamos $y$: $$y = 20 - 2(6) = 20 - 12 = 8$$ Punto **$C(6, 8)$**. 💡 **Tip:** El máximo o mínimo siempre se encuentra en uno de los vértices del polígono de soluciones (o en un segmento que los une).

Sustituimos las coordenadas de los vértices en la función de ingresos $f(x, y) = 150x + 100y$: - $f(0, 0) = 150(0) + 100(0) = 0$ € - $f(10, 0) = 150(10) + 100(0) = 1500$ € - $f(0, 16) = 150(0) + 100(16) = 1600$ € - $f(6, 8) = 150(6) + 100(8) = 900 + 800 = 1700$ € El valor máximo es de **$1700$ €** y ocurre cuando se fabrican **$6$** anillos del primer tipo y **$8$** del segundo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Debe producir 6 anillos del primer tipo y 8 del segundo para un ingreso máximo de 1700 euros.}}$$