Estudio de derivabilidad y representación de una función a trozos

**a) (1 punto) Estudie la derivabilidad de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 4$.** Antes de estudiar la derivabilidad, es obligatorio comprobar si la función es continua en $x = 4$, ya que si no fuera continua, automáticamente no sería derivable. Calculamos los límites laterales y el valor de la función en $x = 4$: 1. **Límite por la izquierda ($x \to 4^-$):** usamos la primera rama. $$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} (-x^2+6x-5) = -(4)^2 + 6(4) - 5 = -16 + 24 - 5 = 3$$ 2. **Límite por la derecha ($x \to 4^+$):** usamos la segunda rama. $$\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} (-2x+11) = -2(4) + 11 = -8 + 11 = 3$$ 3. **Valor de la función:** $f(4) = -(4)^2 + 6(4) - 5 = 3$ (incluido en la primera rama). Como $\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4) = 3$, la función es **continua** en $x = 4$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en dicho punto.

Ahora estudiamos la derivabilidad calculando la función derivada en las ramas abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} -2x+6 & \text{si } 2 \lt x \lt 4 \\ -2 & \text{si } 4 \lt x \lt 5 \end{cases}$$ Calculamos las derivadas laterales en $x = 4$: - **Derivada por la izquierda:** $f'(4^-) = -2(4) + 6 = -8 + 6 = -2$ - **Derivada por la derecha:** $f'(4^+) = -2$ Como las derivadas laterales coinciden ($f'(4^-) = f'(4^+) = -2$), la función es **derivable** en el punto de abscisa $x = 4$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es derivable en } x = 4 \text{ y } f'(4) = -2}$$

**b) (1.5 puntos) Represente gráficamente la función $f(x)$ e indique dónde alcanza su máximo y su mínimo absolutos. ¿Cuál es el valor del máximo? ¿Y del mínimo?** Para representar la función, analizamos cada rama en su intervalo: **Rama 1: $f_1(x) = -x^2+6x-5$ para $x \in [2, 4]$** Es un trozo de parábola cóncava (hacia abajo, ya que el coeficiente de $x^2$ es negativo). - **Vértice:** $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2(-1)} = 3$. Como $3 \in [2, 4]$, el vértice pertenece a la gráfica. - **Ordenada del vértice:** $f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$. El vértice es $(3, 4)$. - **Puntos extremos de la rama:** - Para $x = 2$: $f(2) = -(2)^2 + 6(2) - 5 = 3$. Punto $(2, 3)$. - Para $x = 4$: $f(4) = 3$. Punto $(4, 3)$.

**Rama 2: $f_2(x) = -2x+11$ para $x \in (4, 5]$** Es un segmento de recta con pendiente negativa. - **Puntos extremos de la rama:** - Para $x = 4$: $f(4) = -2(4) + 11 = 3$. Punto $(4, 3)$ (coincide con la otra rama). - Para $x = 5$: $f(5) = -2(5) + 11 = 1$. Punto $(5, 1)$. 💡 **Tip:** Al representar funciones a trozos, es fundamental calcular el valor de la función en los extremos de los intervalos para saber dónde empieza y termina cada trazo.

A continuación, se muestra la representación gráfica de la función en su dominio $[2, 5]$. Observando la gráfica y los valores calculados: - Los valores de $y$ oscilan entre $1$ y $4$. - El valor más alto (**máximo absoluto**) se alcanza en el vértice de la parábola: $x = 3$. - El valor más bajo (**mínimo absoluto**) se alcanza en el extremo final del dominio: $x = 5$. **Valores finales:** - El **máximo absoluto** es $4$ y se alcanza en $x = 3$. - El **mínimo absoluto** es $1$ y se alcanza en $x = 5$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máx. Absoluto: } 4 \text{ en } x=3; \quad \text{Mín. Absoluto: } 1 \text{ en } x=5}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\{2 \\le x \\le 4: -x^2+6x-5, 4 < x \\le 5: -2x+11\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "max", "latex": "(3, 4)", "color": "#ef4444", "label": "Máximo (3, 4)", "showLabel": true }, { "id": "min", "latex": "(5, 1)", "color": "#ef4444", "label": "Mínimo (5, 1)", "showLabel": true } ], "bounds": { "left": 1.5, "right": 5.5, "bottom": 0.5, "top": 4.5 } } }