Probabilidad de sucesos y operaciones fundamentales

Primero, identificamos los datos proporcionados por el enunciado: - $P(A) = 0.68$ - $P(B) = 0.2$ - $P(\text{no ocurra ninguno}) = P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0.27$ Para facilitar el cálculo de todos los apartados, vamos a completar una **tabla de contingencia**. Sabemos que por las Leyes de De Morgan: $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 0.27$. Esto implica que la probabilidad de la unión es: $P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A \cup B}) = 1 - 0.27 = 0.73$. A partir de aquí, podemos completar el resto de la tabla utilizando que las sumas de filas y columnas deben coincidir: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline A & 0.15 & 0.53 & 0.68 \\ \bar{A} & 0.05 & 0.27 & 0.32 \\ \hline \text{Total} & 0.20 & 0.80 & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En ejercicios de probabilidad con dos sucesos, construir una tabla de contingencia suele ser la forma más rápida y visual de encontrar todas las intersecciones necesarias.

**a) (1 punto) Ocurran los dos a la vez.** Que ocurran los dos a la vez se representa como la intersección $P(A \cap B)$. Podemos usar la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0.73 = 0.68 + 0.2 - P(A \cap B)$$ $$0.73 = 0.88 - P(A \cap B)$$ Despejamos $P(A \cap B)$: $$P(A \cap B) = 0.88 - 0.73 = 0.15$$ 💡 **Tip:** Recuerda que "ocurran ambos" siempre hace referencia a la intersección ($\cap$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap B) = 0.15}$$

**b) (0.75 puntos) Ocurra B pero no A.** Este suceso se denota como $P(B \cap \bar{A})$. Corresponde a la probabilidad de $B$ menos la parte que comparte con $A$. La fórmula es: $$P(B \cap \bar{A}) = P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituyendo los valores que ya tenemos: $$P(B \cap \bar{A}) = 0.2 - 0.15 = 0.05$$ Si observamos la tabla de contingencia del paso 1, este valor corresponde a la celda de la fila $\bar{A}$ y la columna $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B \cap \bar{A}) = 0.05}$$

**c) (0.75 puntos) Ocurra B, sabiendo que no ha ocurrido A.** Estamos ante una probabilidad condicionada. Se nos pide calcular $P(B | \bar{A})$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(B | \bar{A}) = \frac{P(B \cap \bar{A})}{P(\bar{A})}$$ Calculamos primero $P(\bar{A})$ (probabilidad de que no ocurra A): $$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.68 = 0.32$$ Ahora sustituimos en la fórmula principal con el dato obtenido en el apartado anterior: $$P(B | \bar{A}) = \frac{0.05}{0.32}$$ Realizamos la división: $$P(B | \bar{A}) = 0.15625$$ 💡 **Tip:** La expresión "sabiendo que" o "dado que" indica siempre que el suceso que viene después es la condición (va en el denominador de la fórmula). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B | \bar{A}) = 0.15625}$$