Intervalo de confianza para la proporción y tamaño muestral

**a) (1.75 puntos) Determine un intervalo de confianza, al 98.5%, para la proporción de personas de esa población que acceden a internet a través del teléfono móvil.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 400$. - Número de personas con acceso móvil: $x = 240$. Calculamos la **proporción muestral** ($\hat{p}$), que es el estimador puntual de la proporción poblacional: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{240}{400} = 0.6$$ A continuación, calculamos el valor de $\hat{q}$, que representa la proporción complementaria: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.6 = 0.4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en problemas de proporciones, siempre trabajamos con $\hat{p}$ (éxitos) y $\hat{q}$ (fracasos), donde $\hat{p} + \hat{q} = 1$.

Para un nivel de confianza del $98.5\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.985$. Calculamos el valor de $\alpha$ (nivel de significación): $$\alpha = 1 - 0.985 = 0.015$$ Repartimos este error en las dos colas de la distribución normal: $$\frac{\alpha}{2} = \frac{0.015}{2} = 0.0075$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada hasta él sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.0075 = 0.9925$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$ el valor de probabilidad $0.9925$, encontramos que corresponde exactamente a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.43}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, tomamos el más cercano o hacemos una media aritmética si está justo en medio.

El error máximo admisible ($E$) para una proporción se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$E = 2.43 \cdot \sqrt{\frac{0.6 \cdot 0.4}{400}} = 2.43 \cdot \sqrt{\frac{0.24}{400}} = 2.43 \cdot \sqrt{0.0006}$$ $$E \approx 2.43 \cdot 0.0244949 = 0.0595$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: - Límite inferior: $0.6 - 0.0595 = 0.5405$ - Límite superior: $0.6 + 0.0595 = 0.6595$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (0.5405, \, 0.6595)}$$

**b) (0.75 puntos) Razone el efecto que tendría sobre la amplitud del intervalo de confianza el aumento o disminución del tamaño de la muestra, suponiendo que se mantuvieran la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza.** La amplitud ($A$) de un intervalo de confianza es la diferencia entre sus límites, lo cual equivale al doble del error: $$A = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Observando la fórmula, vemos que el tamaño de la muestra ($n$) se encuentra en el **denominador** dentro de una raíz cuadrada. Por tanto: 1. **Si el tamaño de la muestra ($n$) aumenta:** Al ser el denominador mayor, el valor del error ($E$) disminuye. En consecuencia, la amplitud del intervalo será **menor** (el intervalo es más estrecho y preciso). 2. **Si el tamaño de la muestra ($n$) disminuye:** El valor del denominador es más pequeño, lo que hace que el error ($E$) aumente. Por tanto, la amplitud del intervalo será **mayor** (el intervalo es más ancho y menos preciso). 💡 **Tip:** A mayor tamaño de muestra, mayor es la información y por tanto menor es la incertidumbre (el intervalo se estrecha).