Programación lineal y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) En un problema de programación lineal, la región factible es la región acotada cuyos vértices son $A(2,-1)$, $B(-1,2)$, $C(1,4)$ y $D(5,0)$. La función objetivo es la función $f(x,y) = 2x + 3y + k$, cuyo valor máximo, en dicha región, es igual a 19. Calcule el valor de $k$ e indique dónde se alcanza el máximo y dónde el mínimo.** En un problema de programación lineal con región factible acotada, los valores óptimos (máximo y mínimo) de la función objetivo se alcanzan en los vértices de dicha región. Procedemos a evaluar $f(x,y) = 2x + 3y + k$ en cada punto: - En $A(2, -1): f(2, -1) = 2(2) + 3(-1) + k = 4 - 3 + k = 1 + k$ - En $B(-1, 2): f(-1, 2) = 2(-1) + 3(2) + k = -2 + 6 + k = 4 + k$ - En $C(1, 4): f(1, 4) = 2(1) + 3(4) + k = 2 + 12 + k = 14 + k$ - En $D(5, 0): f(5, 0) = 2(5) + 3(0) + k = 10 + 0 + k = 10 + k$ 💡 **Tip:** No olvides que el parámetro $k$ se mantiene sumando en todos los resultados, ya que es una constante independiente de $x$ e $y$.

Para determinar cuál es el máximo, comparamos las expresiones obtenidas: $$(1+k) \lt (4+k) \lt (10+k) \lt (14+k)$$ Claramente, el valor máximo es **$14 + k$**, que se alcanza en el vértice **$C(1, 4)$**. El enunciado indica que el valor máximo es 19, por lo tanto: $$14 + k = 19 \implies k = 19 - 14 \implies k = 5$$ ✅ **Resultado (valor de k):** $$\boxed{k = 5}$$

Con $k=5$, sustituimos en los valores obtenidos anteriormente para identificar el mínimo: - $f(A) = 1 + 5 = 6$ - $f(B) = 4 + 5 = 9$ - $f(C) = 14 + 5 = 19$ (Máximo) - $f(D) = 10 + 5 = 15$ El valor más pequeño es 6, el cual se alcanza en el punto $A$. ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{\text{Máximo en } C(1, 4) \text{ y mínimo en } A(2, -1)}$$

**b) (1.5 puntos) Sean las matrices $A = (1 \quad -2 \quad 3)$, $B = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$. Resuelva, si es posible, la ecuación matricial $B \cdot A + 2X = C$.** Primero calculamos el producto $B \cdot A$. $B$ es una matriz de dimensión $3 \times 1$ y $A$ es de dimensión $1 \times 3$, por lo que el resultado será una matriz de dimensión $3 \times 3$: $$B \cdot A = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot (1 \quad -2 \quad 3) = \begin{pmatrix} 2(1) & 2(-2) & 2(3) \\ -1(1) & -1(-2) & -1(3) \\ 1(1) & 1(-2) & 1(3) \end{pmatrix}$$ $$B \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 6 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para multiplicar matrices, recuerda que el elemento de la fila $i$ y columna $j$ es el producto de la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda.

A partir de la ecuación original $B \cdot A + 2X = C$, aislamos el término que contiene a $X$: $$2X = C - B \cdot A$$ $$X = \frac{1}{2} (C - B \cdot A)$$ Calculamos primero la resta $C - B \cdot A$: $$C - B \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & -4 & 6 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$ $$C - B \cdot A = \begin{pmatrix} 2-2 & 0-(-4) & -1-6 \\ 1-(-1) & 1-2 & -1-(-3) \\ 1-1 & 3-(-2) & 2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 4 & -7 \\ 2 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & -1 \end{pmatrix}$$

Finalmente, dividimos cada elemento de la matriz resultante entre 2: $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 4 & -7 \\ 2 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -7/2 \\ 1 & -1/2 & 1 \\ 0 & 5/2 & -1/2 \end{pmatrix}$$ También se puede expresar en forma decimal: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -3.5 \\ 1 & -0.5 & 1 \\ 0 & 2.5 & -0.5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -3.5 \\ 1 & -0.5 & 1 \\ 0 & 2.5 & -0.5 \end{pmatrix}}$$