Análisis de una función polinómica y recta tangente

**a) (1 punto) Determine sus máximos y mínimos relativos.** Para hallar los máximos y mínimos relativos de $f(x)$, primero calculamos su derivada $f'(x)$ e igualamos a cero para encontrar los puntos críticos. Derivamos la función $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3$: $$f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{3}x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}x - 2 = x^2 + x - 2$$ Ahora, resolvemos la ecuación $f'(x) = 0$: $$x^2 + x - 2 = 0$$ Utilizamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos valores: $$x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2$$ 💡 **Tip:** Los puntos donde la derivada es cero son candidatos a ser máximos o mínimos. Para confirmarlo, debemos estudiar el signo de la derivada alrededor de estos puntos.

Analizamos el signo de $f'(x) = (x-1)(x+2)$ en los intervalos definidos por las raíces para determinar dónde la función crece o decrece. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-2) & -2 & (-2,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -2)$, $f'(-3) = (-3)^2 + (-3) - 2 = 4 \gt 0 \implies$ la función **crece**. - En $(-2, 1)$, $f'(0) = 0^2 + 0 - 2 = -2 \lt 0 \implies$ la función **decrece**. - En $(1, +\infty)$, $f'(2) = 2^2 + 2 - 2 = 4 \gt 0 \implies$ la función **crece**. Por lo tanto: - En $x = -2$ hay un **máximo relativo**. - En $x = 1$ hay un **mínimo relativo**.

Para dar la solución completa, calculamos la ordenada $y$ de cada punto sustituyendo en la función original $f(x)$: Para el máximo ($x = -2$): $$f(-2) = \frac{1}{3}(-2)^3 + \frac{1}{2}(-2)^2 - 2(-2) + 3 = -\frac{8}{3} + 2 + 4 + 3 = 9 - \frac{8}{3} = \frac{27-8}{3} = \frac{19}{3}$$ Para el mínimo ($x = 1$): $$f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 - 2(1) + 3 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{2+3+6}{6} = \frac{11}{6}$$ ✅ **Resultado (extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo: } (-2, 19/3) \approx (-2, 6.33), \quad \text{Mínimo relativo: } (1, 11/6) \approx (1, 1.83)}$$

**b) (1 punto) Consideremos la función $g(x) = f'(x)$. Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $g(x)$, en el punto de abscisa $x = 2$.** La función es $g(x) = f'(x) = x^2 + x - 2$. Primero, hallamos el punto de tangencia calculando $g(2)$: $$g(2) = 2^2 + 2 - 2 = 4$$ El punto es $(2, 4)$. Ahora necesitamos la pendiente de la recta tangente, que es la derivada de $g$ evaluada en $x=2$: $$g'(x) = 2x + 1$$ $$m = g'(2) = 2(2) + 1 = 5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente a una función en un punto es el valor de su derivada en dicho punto.

Utilizamos la fórmula de la recta en su forma punto-pendiente: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ Sustituyendo el punto $(2, 4)$ y la pendiente $m = 5$: $$y - 4 = 5(x - 2)$$ $$y - 4 = 5x - 10$$ $$y = 5x - 6$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = 5x - 6}$$

**c) (0.5 puntos) Dibuje la gráfica de $g(x)$ y de la recta tangente calculada en b).** Para dibujar $g(x) = x^2 + x - 2$: - Es una parábola abierta hacia arriba ($a \gt 0$). - Sus puntos de corte con el eje $X$ son $x=1$ y $x=-2$ (ya calculados). - El vértice está en $x_v = -b/2a = -1/2$. La ordenada es $g(-1/2) = (-0.5)^2 - 0.5 - 2 = -2.25$. La recta tangente $y = 5x - 6$ pasa por $(2, 4)$ y tiene pendiente 5.