Probabilidades de préstamos bancarios

Para resolver este problema de probabilidad, lo primero es definir claramente los sucesos y organizar la información proporcionada. Definimos los sucesos: - $H$: El cliente tiene un préstamo hipotecario. - $P$: El cliente tiene un préstamo personal. Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades: - $P(H) = 0.60$ (60% tiene hipotecario). - $P(P) = 0.50$ (50% tiene personal). - $P(H \cap P) = 0.20$ (20% tiene ambos). Para visualizar mejor todos los casos, completamos una **tabla de contingencia**. $$\begin{array}{c|cc|c} & P & \bar{P} & \text{Total} \\ \hline H & 0.20 & 0.40 & 0.60 \\ \bar{H} & 0.30 & 0.10 & 0.40 \\ \hline \text{Total} & 0.50 & 0.50 & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, las filas y columnas deben sumar sus totales. Por ejemplo, si $P(H) = 0.60$ y $P(H \cap P) = 0.20$, entonces el cliente que tiene hipoteca pero no préstamo personal es $0.60 - 0.20 = 0.40$.

**a) (1.25 puntos) Calcule la probabilidad de que no tenga ninguno de los dos préstamos.** Nos piden la probabilidad de que no tenga hipoteca **Y** no tenga préstamo personal, es decir, $P(\bar{H} \cap \bar{P})$. **Método 1: Usando la tabla de contingencia** Mirando directamente en la tabla realizada en el paso anterior, la intersección de $\bar{H}$ y $\bar{P}$ es: $$P(\bar{H} \cap \bar{P}) = 0.10$$ **Método 2: Usando las Leyes de De Morgan** Sabemos que $P(\bar{H} \cap \bar{P}) = P(\overline{H \cup P}) = 1 - P(H \cup P)$. Primero calculamos la unión (tener al menos uno): $$P(H \cup P) = P(H) + P(P) - P(H \cap P)$$ $$P(H \cup P) = 0.60 + 0.50 - 0.20 = 0.90$$ Ahora, restamos de la unidad: $$P(\bar{H} \cap \bar{P}) = 1 - 0.90 = 0.10$$ 💡 **Tip:** Recuerda las Leyes de De Morgan: el complementario de la unión es la intersección de los complementarios: $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{H} \cap \bar{P}) = 0.10}$$

**b) (1.25 puntos) Calcule la probabilidad de que tenga un préstamo hipotecario sabiendo que no tiene préstamo personal.** Este apartado nos pide una **probabilidad condicionada**. Queremos saber la probabilidad de $H$ sabiendo que ha ocurrido $\bar{P}$ (no tiene préstamo personal). Se denota como $P(H|\bar{P})$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(H|\bar{P}) = \frac{P(H \cap \bar{P})}{P(\bar{P})}$$ Buscamos los valores necesarios: - $P(H \cap \bar{P})$: Probabilidad de tener hipoteca y no préstamo personal. De la tabla o restando: $P(H) - P(H \cap P) = 0.60 - 0.20 = 0.40$. - $P(\bar{P})$: Probabilidad de no tener préstamo personal. Es el complementario de $P$: $1 - P(P) = 1 - 0.50 = 0.50$. Sustituimos en la fórmula: $$P(H|\bar{P}) = \frac{0.40}{0.50} = 0.8$$ 💡 **Tip:** En una probabilidad condicionada $P(A|B)$, el suceso $B$ pasa a ser nuestro "nuevo universo" o denominador. En este caso, solo nos fijamos en los clientes sin préstamo personal ($50\%$) y vemos cuántos de ellos tienen hipoteca ($40\%$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H|\bar{P}) = 0.8}$$